Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o campo vetorial
. - Pergunta 1: verificar se
é conservativo. - Pergunta 2: em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que .
Informações relevantes a partir do enunciado: os componentes do campo são
Observe que as expressões têm denominador
, que é zero apenas em
; portanto todas as derivadas e manipulações abaixo só fazem sentido fora da origem. A região natural de definição de
é
.
Passo 2
Critério prático para checar se um campo plano
é conservativo (passo técnico e intuitivo):
- Se existe uma função
tal que e , então , ou em fórmulas escalares:
- Atenção: essa condição implica existência de potencial em qualquer região simplesmente conexa onde as funções são diferenciáveis. Mas mesmo sem usar o teorema de existência, podemos tentar encontrar explicitamente
por integração.
Vamos calcular as derivadas parciais para verificar a condição de irrotacionalidade (lembrando que só faz sentido para
).
Passo 3
Cálculo de
e
:
Primeiro escrevo
e
de forma que facilite derivar:
Derivando
em relação a
:
- Use a regra do produto (ou do quociente). Como
é tratado como constante quando derivamos em ,
Agora derive
em relação a
:
- Analogamente,
Portanto
em todo ponto
. Conclusão: o campo é irrotacional fora da origem.
Passo 4
Agora vamos tentar achar explicitamente a função potencial
por integração (método de “integrar
em
e ajustar com uma função de
” — é uma técnica padrão e prática na prova).
Começo impondo
Integro essa igualdade em relação a
, tratando
como constante:
- Faça a substituição
. Então , logo . - Assim
Voltando a
,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Determinar
comparando com a segunda condição
.
Calcule
a partir da expressão encontrada:
- Diferencie
em relação a :
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando,
Isto implica
. Logo
é constante real:
.
Portanto uma função potencial é
definida para todo
com
, ou seja em
.
Passo 6
Interpretação e observações finais (úteis na prova):
- Encontramos explicitamente
e verificamos em todo ponto fora da origem; portanto é conservativo no domínio . - Mesmo que
não seja simplesmente conexo, aqui não houve problema porque conseguimos construir uma função válida e diferenciável em toda essa região. Um jeito rápido de reconhecer a resposta é lembrar que
onde
; e
.