Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
F(x, y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}} i+\frac{y}{x^{2}+y^{2}} j.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o campo vetorial \displaystyle F(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,i+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,j.
  • Pergunta 1: verificar se F é conservativo.
  • Pergunta 2: em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F.
Informações relevantes a partir do enunciado: os componentes do campo são
P(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Observe que as expressões têm denominador x^{2}+y^{2}, que é zero apenas em (0,0); portanto todas as derivadas e manipulações abaixo só fazem sentido fora da origem. A região natural de definição de F é \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 2

Critério prático para checar se um campo plano F=(P,Q) é conservativo (passo técnico e intuitivo):
  • Se existe uma função \varphi tal que \partial\varphi/\partial x=P e \partial\varphi/\partial y=Q, então \nabla\times F=0, ou em fórmulas escalares:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.
  • Atenção: essa condição implica existência de potencial em qualquer região simplesmente conexa onde as funções são diferenciáveis. Mas mesmo sem usar o teorema de existência, podemos tentar encontrar explicitamente \varphi por integração.
Vamos calcular as derivadas parciais para verificar a condição de irrotacionalidade (lembrando que só faz sentido para (x,y)\neq(0,0)).

Passo 3

Cálculo de \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x:
Primeiro escrevo P e Q de forma que facilite derivar:
P(x,y)=x\,(x^{2}+y^{2})^{-1},\qquad Q(x,y)=y\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Derivando P em relação a y:
  • Use a regra do produto (ou do quociente). Como x é tratado como constante quando derivamos em y,
\frac{\partial P}{\partial y}=x\cdot\frac{d}{dy}\bigl((x^{2}+y^{2})^{-1}\bigr) = x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora derive Q em relação a x:
  • Analogamente,
\frac{\partial Q}{\partial x}=y\cdot\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+y^{2})^{-1}\bigr) = y\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
em todo ponto (x,y)\neq(0,0). Conclusão: o campo é irrotacional fora da origem.

Passo 4

Agora vamos tentar achar explicitamente a função potencial \varphi por integração (método de “integrar P em x e ajustar com uma função de y” — é uma técnica padrão e prática na prova).
Começo impondo
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Integro essa igualdade em relação a x, tratando y como constante:
  • Faça a substituição u=x^{2}+y^{2}. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Assim
\int \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C(y).
Voltando a x,y,
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 5

Determinar C(y) comparando com a segunda condição \partial\varphi/\partial y=Q(x,y).
Calcule \partial\varphi/\partial y a partir da expressão encontrada:
  • Diferencie \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2})+C(y) em relação a y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}+C'(y) =\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+C'(y).
Mas sabemos que \partial\varphi/\partial y deve ser igual a Q(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}. Igualando,
\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+C'(y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Isto implica C'(y)=0. Logo C(y) é constante real: C(y)=C.
Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+C,
definida para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}>0, ou seja em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 6

Interpretação e observações finais (úteis na prova):
  • Encontramos explicitamente \varphi e verificamos \nabla\varphi=F em todo ponto fora da origem; portanto F é conservativo no domínio \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
  • Mesmo que \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} não seja simplesmente conexo, aqui não houve problema porque conseguimos construir uma função \varphi válida e diferenciável em toda essa região. Um jeito rápido de reconhecer a resposta é lembrar que
\frac{1}{2}\ln(x^{2}+y^{2})=\ln\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)=\ln r,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}; e \nabla(\ln r)=\bigl(x/(x^{2}+y^{2}),\,y/(x^{2}+y^{2})\bigr).

Resposta

\displaystyleConservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.\newline
\displaystyle \varphi(x,y)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+C

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