Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
\int_{C} y^{3} d s \quad C: x=t, \quad y=t, \quad 0 \leq t \leq 2

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
\int_{C} y^{3}\,ds
onde a curva C é dada por
x=t,\quad y=t,\quad 0\le t\le 2.
Informações fornecidas:
  • A parametrização da curva é r(t)=(t,t) para t no intervalo [0,2].
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=y^{3}.
  • O elemento de comprimento de arco é ds.
    Não há outras perguntas; queremos o valor numérico da integral acima.

Passo 2

Entendendo o que é a integral de linha com respect to ds: para uma função escalar f(x,y) e uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a a b, a integral de linha é dada por
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\lVert r'(t)\rVert\,dt.
Aqui \lVert r'(t)\rVert é a norma do vetor velocidade r'(t) e corresponde ao fato de ds=\lVert r'(t)\rVert\,dt. Vou explicar cada termo:
  • f\big(x(t),y(t)\big) significa substituir a parametrização na função a integrar.
  • \lVert r'(t)\rVert=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}} é o comprimento instantâneo do vetor velocidade; multiplica dt para dar o comprimento do pequeno arco ds.

Passo 3

Calculemos r'(t) e sua norma para a parametrização dada r(t)=(t,t).
Derivando componente a componente:
r'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,1).
A norma é
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Observação prática: como r'(t) é constante, \lVert r'(t)\rVert também é constante, então ds=\sqrt{2}\,dt.

Passo 4

Substituímos tudo na fórmula da integral de linha. Temos y(t)=t, logo f\big(x(t),y(t)\big)=y(t)^{3}=t^{3}. Assim
\int_{C} y^{3}\,ds = \int_{0}^{2} t^{3}\,\lVert r'(t)\rVert\,dt = \int_{0}^{2} t^{3}\,\sqrt{2}\,dt.
Como \sqrt{2} é constante, podemos colocá-la em fator:
\int_{0}^{2} t^{3}\,\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{2} t^{3}\,dt.

Passo 5

Calcule a integral de t^{3}. A primitiva de t^{3} é \dfrac{t^{4}}{4}. Portanto
\int_{0}^{2} t^{3}\,dt = \left[\dfrac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4}=\dfrac{16}{4}=4.
Multiplicando pelo fator \sqrt{2} obtemos
\sqrt{2}\cdot 4 = 4\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação curta e dica para prova: a curva r(t)=(t,t) é um segmento de reta de (0,0) a (2,2). Para segmentos retilíneos com parametrização afim, \lVert r'(t)\rVert costuma ser constante, então a integral reduz a integrar apenas a função composta com o parâmetro multiplicada por uma constante — isso economiza cálculo durante a prova. Força aí, você chegou à resposta com passos simples!

Resposta

4\sqrt{2}

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