Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
onde a curva
é dada por
Informações fornecidas:
- A parametrização da curva é
para no intervalo . - A função a integrar ao longo da curva é
. - O elemento de comprimento de arco é
.
Não há outras perguntas; queremos o valor numérico da integral acima.
Passo 2
Entendendo o que é a integral de linha com respect to
: para uma função escalar
e uma curva parametrizada por
, com
variando de
a
, a integral de linha é dada por
Aqui
é a norma do vetor velocidade
e corresponde ao fato de
. Vou explicar cada termo:
-
significa substituir a parametrização na função a integrar. -
é o comprimento instantâneo do vetor velocidade; multiplica para dar o comprimento do pequeno arco .
Passo 3
Calculemos
e sua norma para a parametrização dada
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
A norma é
Observação prática: como
é constante,
também é constante, então
.
Passo 4
Substituímos tudo na fórmula da integral de linha. Temos
, logo
. Assim
Como
é constante, podemos colocá-la em fator:
Passo 5
Calcule a integral de
. A primitiva de
é
. Portanto
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 6
Interpretação curta e dica para prova: a curva
é um segmento de reta de
a
. Para segmentos retilíneos com parametrização afim,
costuma ser constante, então a integral reduz a integrar apenas a função composta com o parâmetro multiplicada por uma constante — isso economiza cálculo durante a prova. Força aí, você chegou à resposta com passos simples!