Questão 8.

Sejam \vec{F}(x, y)=\left(x y+\left(y^{2}+3\right) e^{y}\right) \vec{i}+\left(y^{2}+x^{3} \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \vec{j} e C a curva dada pelo segmento do gráfico y=x^{3} que vai de (0,0) ao ponto (2,8). Calcule
\int_{C} \nabla \cdot \vec{F}(x, y) d s
onde \nabla \cdot \vec{F}(x, y)=\frac{\partial P}{\partial x}(x, y)+\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) e \vec{F}=P(x, y) \vec{i}+Q(x, y) \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{C}\nabla\cdot\vec F(x,y)\,ds
onde \vec F(x,y)=P(x,y)\,\vec i+Q(x,y)\,\vec j e C é o arco do gráfico y=x^3 de (0,0) a (2,8). Aqui o conteúdo é a integração de uma função escalar (a divergência) ao longo de uma curva, usando a parametrização e o elemento de comprimento de arco ds.

Passo 2

Primeiro calculamos a divergência verdadeira
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}.
Como
P(x,y)=xy+(y^2+3)e^y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial x}=y,
e
Q(x,y)=y^2+x^3\ln\bigl(\sqrt{1+x^2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=2y,
segue que
\nabla\cdot\vec F=y+2y=3y.

Passo 3

Parametrizamos C por
x=t,\quad y=t^3,\quad 0\le t\le2.
Então
\frac{dy}{dt}=3t^2 \quad\Longrightarrow\quad ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\,dt =\sqrt{1+(3t^2)^2}\,dt =\sqrt{1+9t^4}\,dt.
Além disso, sobre C temos y=t^3, logo
\nabla\cdot\vec F\bigl(x(t),y(t)\bigr) =3\,t^3.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle\int_{C}3y\,ds, obtemos
\int_{0}^{2}3\,t^3\sqrt{1+9t^4}\,dt.
Fazemos a mudança de variável
u=1+9t^4, \quad du=36\,t^3\,dt,
então t^3\,dt=du/36 e a integral vira
\int_{0}^{2}3\,t^3\sqrt{1+9t^4}\,dt =\int_{u(0)=1}^{u(2)=1+9\cdot2^4}3\sqrt{u}\,\frac{du}{36} =\frac{3}{36}\int_{1}^{145}u^{1/2}du.
Agora
\int u^{1/2}du=\frac{2}{3}u^{3/2},
logo
\frac{3}{36}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{145} =\frac{1}{18}\bigl(145^{3/2}-1^{3/2}\bigr).

Resposta

\int_{C}\nabla\cdot\vec F\,ds =\frac{1}{18}\bigl(145^{3/2}-1\bigr).

Exercícios relacionados