Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
integralC(2 cos x+3 y) d s, C: x=t, y=2 t, e <= t <= e^2

Passo 1

A gente precisa calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=2cos x+3y ao longo da curva C dada por x=t, y=2t, com t variando de e a e^2. O conteúdo aqui é integração de linha de campos escalares, para o qual vamos parametrizar a curva e usar ds.

Passo 2

Parametrizando C por r(t)=(t,2t), temos x'(t)=1 e y'(t)=2. Então
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt=raiz1^2+2^2,dt=raiz5,dt

Passo 3

Substituindo na integral de linha, obtemos
integralC(2cos x+3y),ds=integralt=e^e^2l(2cos t+3cdot(2t)r)raiz5,dt=raiz5integrale^e^2l(2cos t+6tr)dt

Passo 4

Agora a gente separa e integra:
integral(2cos t)dt=2sin t,integral(6t)dt=3t^2

Passo 5

Portanto a integral vira
raiz5l[2sin t+3t^2r]t=e^t=e^2

Resposta

raiz5l[2l(sin(e^2)-sin(e)r)+3l(e^4-e^2r)r]

Exercícios relacionados