Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos e, em caso afirmativo, calcule o potencial:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial vec F(x,y)=(e^xy+xy,e^xy,;x^2e^xy) é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar o potencial escalar phi(x,y). O conteúdo da matéria envolvido é: teste de igualdade de derivadas parciais em R^2 (campo conservativo) e integração para obter o potencial.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de P(x,y)=e^xy+xy,e^xy e Q(x,y)=x^2e^xy para aplicar o teste de conservatividade:
partial Ppartial y=2x,e^xy+x^2y,e^xy, partial Qpartial x=2x,e^xy+x^2y,e^xy
Como as duas derivadas coincidem para todo (x,y), o campo é conservativo em R^2.

Passo 3

Para encontrar o potencial phi(x,y), integramos P(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
phi(x,y)=integrall(e^xy+xy,e^xyr),dx = x,e^xy+C(y)
Agora determinamos a função de integração C(y) exigindo que partialphi/partial y=Q(x,y):
partialphipartial y=x^2e^xy+C'(y)
Comparando com Q(x,y)=x^2e^xy obtemos C'(y)=0, logo C(y) é constante.

Resposta

O campo é conservativo e seu potencial geral é
phi(x,y)=x,e^xy+C, com C constante.

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