Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo:
integralC z+1z^4+2 i z^3 d z onde C é o círculo |z|=1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno integralCz+1z^4+2i z^3,dz em torno do círculo |z|=1. Esse é um problema de análise complexa e vamos usar o Teorema dos Resíduos (Fórmula Integral de Cauchy) para avaliá-la. Precisamos identificar os polos de f(z)=z+1z^4+2i z^3, determinar quais estão dentro de C, calcular o resíduo e então aplicar integralC f(z),dz=2pi isumRes.

Passo 2

Fatorando o denominador, temos
z^4+2i z^3=z^3(z+2i)
Logo os polos são em z=0 (ordem 3) e z=-2i. Como |-2i|=2>1, apenas o polo z=0 está dentro de C.

Passo 3

Para calcular o resíduo em z=0 de um polo de ordem 3, vamos usar expansão em série. Escrevemos
f(z)=z+1z^3(z+2i)=(z^-2+z^-3)cdot1z+2i

Passo 4

Em seguida expandimos 1/(z+2i) em série para |z|<2:
1z+2i=12i,11+z2i=12isumn=0^infty(-1)^nl(z2ir)^n

Passo 5

Multiplicando séries, obtemos
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n2i(2i)^nl(z^-2+n+z^-3+nr)

Passo 6

Procuramos o coeficiente de z^-1. As contribuições vêm de:
  • n=1 no termo z^-2+n=z^-1, dando coeficiente (-1)^12i(2i)^1=14.
  • n=2 no termo z^-3+n=z^-1, dando coeficiente (-1)^22i(2i)^2=-18i=i8

Passo 7

Somando, o resíduo em 0 é
Res(f,0)=14+i8

Passo 8

Finalmente aplicamos integralCf(z),dz=2pi i,Res(f,0), obtendo
integralCz+1z^4+2i z^3,dz=2pi il(14+i8r)= -pi4+pi i2

Resposta

-\nfrac{\pi}{4}+\frac{\pi i}{2}

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