Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo:
onde
é o círculo
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
em torno do círculo
. Esse é um problema de análise complexa e vamos usar o Teorema dos Resíduos (Fórmula Integral de Cauchy) para avaliá-la. Precisamos identificar os polos de
, determinar quais estão dentro de
, calcular o resíduo e então aplicar
.
Passo 2
Fatorando o denominador, temos
Logo os polos são em
Passo 3
Para calcular o resíduo em
de um polo de ordem 3, vamos usar expansão em série. Escrevemos
Passo 4
Em seguida expandimos
em série para
:
Passo 5
Multiplicando séries, obtemos
Passo 6
Procuramos o coeficiente de
. As contribuições vêm de:
-
no termo , dando coeficiente . -
no termo , dando coeficiente
Passo 7
Somando, o resíduo em
é
Passo 8
Finalmente aplicamos
, obtendo
Resposta
-\nfrac{\pi}{4}+\frac{\pi i}{2}