Use a Fórmula Integral de Cauchy para calcular as integrais abaixo:
integralC zz^2+9 d z onde C é o círculo |z-2 i|=4;

Passo 1

O exercício pede para calcular integralC zz^2+9,dz onde C é o círculo |z-2i|=4. O conteúdo principal é a Fórmula Integral de Cauchy (ou teorema dos resíduos), e vamos precisar identificar os polos de zz^2+9, ver quais estão dentro de C e aplicar a fórmula.

Passo 2

Determinamos as singularidades da função zz^2+9 resolvendo z^2+9=0, que dá z=3i e z=-3i. São polos simples.

Passo 3

Verificamos quais polos ficam dentro do círculo |z-2i|=4. A distância de 3i a 2i é |3i-2i|=1<4, então 3i está dentro. Para -3i, temos |-3i-2i|=5>4, então -3i está fora.

Passo 4

Para aplicar Cauchy, escrevemos
zz^2+9=z(z-3i)(z+3i)=h(z)z-3i, h(z)=zz+3i

Passo 5

A fórmula diz que
integralCh(z)z-3i,dz=2pi i,h(3i)

Passo 6

Calculamos h(3i)=3i3i+3i=3i6i=tfrac12. Logo,
integralCzz^2+9,dz=2pi icdottfrac12=pi i

Resposta

pi i

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