Determine as assintotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico das fun ções abaixo:
f(x)=1x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=1x^2-1
e em seguida esboçar o gráfico. O conteúdo envolve estudo de domínio, limites em pontos críticos (para verticais) e limites no infinito (para horizontais).

Passo 2

Determine o domínio de f e as assíntotas verticais.
O denominador zera quando
x^2-1=0implies x=pm1
Logo o domínio é
xinRmid xneq -1,;xneq1,
e em xto1^pm e xto(-1)^pm a função tende a pminfty, caracterizando assíntotas verticais em
x=1 e x=-1

Passo 3

Encontre a assíntota horizontal, calculando o limite em xtopminfty.
Como para grandes lvert xrvert o termo x^2 domina, temos
limxtopminfty1x^2-1=0
Portanto existe uma assíntota horizontal em
y=0

Passo 4

Analise o sinal de f(x) e o comportamento próximo às assíntotas:
  • Para lvert xrvert>1, x^2-1>0 logo f(x)>0.
  • Para -1<x<1, x^2-1<0 logo f(x)<0.
    Além disso, cada ramo aproxima-se de y=0 quando lvert xrverttoinfty e explode para pminfty conforme xtopm1.

Passo 5

Esboce qualitativamente o gráfico com três ramos:
  • Ramo em x<-1: f>0, cai de 0^+ (quando xto-infty) até +infty (quando xto-1^-).
  • Ramo em -1<x<1: f<0, cai de -infty (em xto-1^+) até -infty (em xto1^-), passando por um mínimo em x=0 com f(0)=-1.
  • Ramo em x>1: f>0, vem de +infty (em xto1^+) e decai para 0^+ (em xto+infty).

Resposta

Assíntotas verticais:
x=-1, x=1
Assíntota horizontal:
y=0
Esboço do gráfico: três ramos, dois positivos para x<-1 e para x>1, e um ramo negativo entre -1 e 1, todos assintóticos a x=pm1 e a y=0.

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