Determine as assintotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico das fun ções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
e em seguida esboçar o gráfico. O conteúdo envolve estudo de domínio, limites em pontos críticos (para verticais) e limites no infinito (para horizontais).
Passo 2
Determine o domínio de
e as assíntotas verticais.
O denominador zera quando
O denominador zera quando
Logo o domínio é
e em
e
a função tende a
, caracterizando assíntotas verticais em
Passo 3
Encontre a assíntota horizontal, calculando o limite em
.
Como para grandes o termo
domina, temos
Como para grandes
Portanto existe uma assíntota horizontal em
Passo 4
Analise o sinal de
e o comportamento próximo às assíntotas:
- Para
, logo . - Para
, logo .
Além disso, cada ramo aproxima-se dequando e explode para conforme .
Passo 5
Esboce qualitativamente o gráfico com três ramos:
- Ramo em
: , cai de (quando ) até (quando ). - Ramo em
: , cai de (em ) até (em ), passando por um mínimo em com . - Ramo em
: , vem de (em ) e decai para (em ).
Resposta
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Esboço do gráfico: três ramos, dois positivos para
e para
, e um ramo negativo entre
e
, todos assintóticos a
e a
.