Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
integralC x z^2 d s, onde C é o segmento de reta de (-1,0,0) a (2,0,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,z^2,d s
onde C é o segmento de reta que vai de (-1,0,0) a (2,0,4). O conteúdo aqui é integral de linha escalar de uma função f(x,y,z)=x,z^2 em uma curva C. Vamos parametrizar C e usar a fórmula
integralC f(x,y,z),d s = integrala^b fl(x(t),y(t),z(t)r),l|r'(t)r|,dt

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta ligando P0=(-1,0,0) a P1=(2,0,4). Uma parametrização conveniente é
r(t)=(-1,0,0)+tl((2,0,4)-(-1,0,0)r)=l(-1+3t,;0,;4tr),
com tin[0,1]. Logo
x(t)=-1+3t e z(t)=4t.

Passo 3

Calculamos o elemento de comprimento
r'(t)=(3,0,4), l|r'(t)r|=raiz3^2+0^2+4^2=5,
portanto d s=5,dt. A função no integrando fica
fl(x(t),y(t),z(t)r)=x(t),z(t)^2=(-1+3t),(4t)^2=16,t^2(-1+3t)

Passo 4

Substituindo em integralCx,z^2,ds:
integral0^116,t^2(-1+3t)cdot 5,dt =80integral0^1l(-t^2+3t^3r),dt =80l[-tfrac13t^3+tfrac34t^4r]0^1 =80l(-tfrac13+tfrac34r) =80cdottfrac512 =tfrac1003

Resposta

1003

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