Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva C com orientaçâo positiva.
ointC(x y^2 d x+2 x^2 y d y)
Onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e $(0,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointCl(xy^2,dx + 2x^2y,dyr)
onde C é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), orientado positivamente (sentido anti-horário).
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha numa integral dupla sobre a região R limitada por C:
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaRl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=xy^2, Q(x,y)=2x^2y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(2x^2y) =4xy, partial Ppartial y = partialpartial y(xy^2) =2xy
Logo, o integrando de Green é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =4xy - 2xy =2xy

Passo 3

Precisamos descrever a região R: é o triângulo cujos lados são os eixos e a reta que une (1,0) a (0,2). Essa reta tem equação
y=2-2x
Então
R=(x,y)mid 0<= x<=1, 0<= y<= 2-2x
A integral dupla fica
integral duplaR2xy,dA =integralx=0^1integraly=0^2-2x2x y,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integral0^2-2x2x y,dy =2xcdoty^22|0^2-2x =x,(2-2x)^2
Note que (2-2x)^2=4(1-x)^2, então a integral em x é
integral0^1x,(2-2x)^2,dx =integral0^14x(1-x)^2,dx

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^14x(1-x)^2,dx =4integral0^1l(x -2x^2+x^3r),dx =4l[x^22-2x^33+x^44r]0^1 =4l(12-23+14r)
No parêntese temos
12-23+14 =6-8+312 =112,
portanto o resultado é
4cdot112 =13

Resposta

13

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