Questão (8 pts) Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
e quer a derivada
. Isso é cálculo de derivadas usando regras básicas: regra do produto/quociente, regra da cadeia e regra da potência. Vamos lembrar que:
- derivada de
é (regra da potência); - derivada de uma função composta
é (regra da cadeia); - derivada de
é (regra do produto).
Passo 2
Primeiro, reescrevo a função em potências pra ficar mais fácil:
Assim identifico dois fatores:
Passo 3
Agora calculo as derivadas de cada um:
- Para
, pela regra da potência:
- Para
, uso regra da potência + cadeia:
- a “potência” é
, então vou trazer multiplicando e diminuir 1 no expoente; - dentro vem
, cuja derivada é .
Logo
Passo 4
Com
e
em mãos, aplico a regra do produto:
Substituindo:
Posso fatorar
pra juntar tudo numa fração só:
Passo 5
Falta simplificar o colchete:
- O primeiro termo já é
. - O segundo é
, que dá .
Então
Substituindo de volta: