Questão (8 pts) Calcule as derivadas das seguintes funções:
g(x)=raizx(x^2+1)^2

Passo 1

Beleza, a gente tem a função
g(x)=raizx(x^2+1)^2
e quer a derivada g'(x). Isso é cálculo de derivadas usando regras básicas: regra do produto/quociente, regra da cadeia e regra da potência. Vamos lembrar que:
  • derivada de x^n é n,x^n-1 (regra da potência);
  • derivada de uma função composta f(g(x)) é f'(g(x))cdot g'(x) (regra da cadeia);
  • derivada de ucdot v é u'v+uv' (regra do produto).

Passo 2

Primeiro, reescrevo a função em potências pra ficar mais fácil:
g(x)=x^1/2,(x^2+1)^-2
Assim identifico dois fatores:
u(x)=x^1/2, v(x)=(x^2+1)^-2

Passo 3

Agora calculo as derivadas de cada um:
  1. Para u(x)=x^1/2, pela regra da potência:
u'(x)=12,x^-1/2=12raizx
  1. Para v(x)=(x^2+1)^-2, uso regra da potência + cadeia:
  • a “potência” é (-2), então vou trazer multiplicando e diminuir 1 no expoente;
  • dentro vem x^2+1, cuja derivada é 2x.
    Logo
v'(x)=-2,(x^2+1)^-3cdot(2x)=-4x,(x^2+1)^-3

Passo 4

Com u' e v' em mãos, aplico a regra do produto:
g'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo:
g'(x)=12raizx,(x^2+1)^-2+x^1/2,l(-4x,(x^2+1)^-3r)
Posso fatorar (x^2+1)^-3 pra juntar tudo numa fração só:
g'(x)=(x^2+1)^-3l[x^2+12raizx-4xraizxr]

Passo 5

Falta simplificar o colchete:
  • O primeiro termo já é x^2+12raizx.
  • O segundo é 4xraizx=4x^3/2, que dá 8x^22raizx.
    Então
x^2+12raizx-4xraizx =x^2+1-8x^22raizx =1-7x^22raizx
Substituindo de volta:
g'(x)=(x^2+1)^-3,1-7x^22raizx =1-7x^22raizx,(x^2+1)^3

Resposta

boxedg'(x)=1-7x^22raizx,(x^2+1)^3

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