Determine o campo vetorial gradiente nabla f de f :
f(x, y)=tg^2 x-3 x y^2

Passo 1

O enunciado pede o campo gradiente nabla f de
f(x,y)=tan^2 x ;-;3,x,y^2
Lembra que o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Para calcular cada componente vamos usar a regra da cadeia e as derivadas conhecidas de tan x e de monômios.

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
  • Para tan^2 x use que
ddxl(tan^2 xr)=2,tan xcdotddx(tan x) =2,tan x;sec^2 x
  • Para -3,x,y^2 consideramos y constante, então
partialpartial x(-3,x,y^2)=-3,y^2
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partial fpartial x(x,y) =2,tan x;sec^2 x ;-;3,y^2

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
  • tan^2 x não depende de y, então sua derivada parcial é zero.
  • Para -3,x,y^2 temos
partialpartial y(-3,x,y^2) =-3,xcdot 2,y =-6,x,y
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partial fpartial y(x,y) =-6,x,y

Resposta

nabla f(x,y) =l(2,tan x;sec^2 x ;-;3,y^2,;-6,x,yr)

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