Considere o conjunto de funções:
F=1, cos (pi xL), cos (2 pi xL), ldots cos (m pi xL), ldots, sen(pi xL), sen(2 pi xL), ldots sen(m pi xL), ldots
onde L in R+^*.
Mostre que cos (m pi xL) e cos (n pi xL) são L.I., se m neq n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que duas funções do tipo cosseno, especificamente cos(m pi xL) e cos(n pi xL), são linearmente independentes quando m é diferente de n. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear aplicado a funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linear independência e utilizar um pouco de cálculo com integrais para provar nosso ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Duas funções são linearmente independentes se a única combinação linear delas que resulta na função zero é quando os coeficientes dessa combinação são ambos zero. Em outras palavras, se a cos(m pi xL) + b cos(n pi xL) = 0 para todo x, então necessariamente a = 0 e b = 0.

Passo 3

Para provar isso, vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que é igual a zero:
a cos(m pi xL) + b cos(n pi xL) = 0 para todo x
Nosso objetivo é mostrar que a e b devem ser zero.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por cos(m pi xL) e integrar de 0 a L. Isso vai nos ajudar a isolar os coeficientes a e b.
integral0^L [ a cos^2(m pi xL) + b cos(n pi xL) cos(m pi xL) ] dx = 0

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
integral0^L cos^2(m pi xL) dx = L2,
e, devido à ortogonalidade das funções cosseno com índices diferentes,
integral0^L cos(n pi xL) cos(m pi xL) dx = 0 quando m neq n

Passo 6

Substituindo esses resultados na equação integrada, temos:
a cdot L2 + b cdot 0 = 0,
o que simplifica para:
a cdot L2 = 0
Como L é um número positivo, concluímos que a = 0.

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo processo multiplicando a equação original por cos(n pi xL) e integrando de 0 a L:
integral0^L [ a cos(m pi xL) cos(n pi xL) + b cos^2(n pi xL) ] dx = 0
Usando a mesma lógica de antes:
a cdot 0 + b cdot L2 = 0 Rightarrow b cdot L2 = 0 Rightarrow b = 0

Resposta

Portanto, mostramos que a = 0 e b = 0 são as únicas soluções possíveis, o que prova que cos(m pi xL) e cos(n pi xL) são linearmente independentes quando m neq n.

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