Considere o conjunto de funções:
onde
.
Mostre que
e
são L.I., se
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que duas funções do tipo cosseno, especificamente
e
, são linearmente independentes quando
é diferente de
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear aplicado a funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linear independência e utilizar um pouco de cálculo com integrais para provar nosso ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é linearmente independente. Duas funções são linearmente independentes se a única combinação linear delas que resulta na função zero é quando os coeficientes dessa combinação são ambos zero. Em outras palavras, se
para todo
, então necessariamente
e
.
Passo 3
Para provar isso, vamos assumir que existe uma combinação linear dessas funções que é igual a zero:
Nosso objetivo é mostrar que
e
devem ser zero.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
e integrar de
a
. Isso vai nos ajudar a isolar os coeficientes
e
.
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
e, devido à ortogonalidade das funções cosseno com índices diferentes,
Passo 6
Substituindo esses resultados na equação integrada, temos:
o que simplifica para:
Como
é um número positivo, concluímos que
.
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo processo multiplicando a equação original por
e integrando de
a
:
Usando a mesma lógica de antes:
Resposta
Portanto, mostramos que
e
são as únicas soluções possíveis, o que prova que
e
são linearmente independentes quando
.