Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC z^2 d x+x^2 d y+y^2 d z, C é o segmento de reta de (1,0,0) a (4,1,2)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC z^2,dx + x^2,dy + y^2,dz
onde C é o segmento de reta de (1,0,0) a (4,1,2).
O conteúdo envolve parametrizar C, expressar dx, dy, dz em função de um parâmetro t, substituir na integral e depois integrar em t.

Passo 2

Parametrizamos o segmento unindo (1,0,0) a (4,1,2) por
x(t)=1+3t, y(t)=t, z(t)=2t, 0<= t<=1
Dessa parametrização decorre
dx=3,dt, dy=1,dt, dz=2,dt

Passo 3

Substituindo na integral temos
integralC z^2,dx + x^2,dy + y^2,dz = integral0^1l((2t)^2cdot3 + (1+3t)^2cdot1 + t^2cdot2r),dt
Simplificando o integrando:
(2t)^2cdot3 =12t^2, (1+3t)^2=1+6t+9t^2, t^2cdot2=2t^2,
logo
integral0^1l(12t^2 + (1+6t+9t^2) + 2t^2r),dt = integral0^1 l(1 + 6t + 23t^2r),dt

Passo 4

Agora integramos termo a termo em t:
integral0^11,dt = [t]0^1=1, integral0^16t,dt = [3t^2]0^1=3, integral0^123t^2,dt = l[tfrac233t^3r]0^1=tfrac233
Somando os resultados:
1 + 3 + tfrac233 = 4 + tfrac233 = tfrac12+233 = tfrac353

Resposta

353

Exercícios relacionados