Esboce as curvas transladadas dos itens (a) e (c) e conclua sobre os limites dos itens (b) e (d).
(a) y=2^x-1 e y=2^-x-1
(b) lim x infty(2^x-1)
(c) y=1-e^x e y=1-e^-x
(d) lim x -infty(1-e^-x)

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente “esboçar” (desenhar de leve) as curvas traduzidas dos itens (a) e (c), e depois tirar conclusões sobre os limites dos itens (b) e (d).
Conteúdo: funções exponenciais, transformações (reflexão, translação) e limites no infinito.
O que vamos precisar:
  1. Saber como é o gráfico básico de y=2^x e y=e^x.
  2. Entender reflexão horizontal ( xmapsto -x) e translação vertical (somar ou subtrair constantes).
  3. Conhecer o comportamento de a^x e e^x quando xtopminfty.

Passo 2

Item (a): funçõezinhas
  1. Gráfico de referência:
    • y=2^x é crescente, passa bem perto de zero quando xto -infty (assíntota em y=0) e explode pra infty quando xtoinfty.
    • y=2^-x é só o y=2^x espelhado no eixo y: agora é decrescente, vai a +infty em xto -infty e a 0 em xtoinfty.
  2. Agora subtrair 1:
    • y=2^x-1: pega o gráfico de 2^x e “puxa pra baixo” 1 unidade. A assíntota vira y=-1.
    • y=2^-x-1: mesmo esquema do 2^-x, só que abaixado 1. Assíntota também em y=-1.
      Esboço mental: duas curvas com comportamento inverso (uma sobe, outra desce), ambas nunca tocam y=-1.

Passo 3

Item (b): limxtoinfty(2^x-1)
Teoria: para base >1, a^xtoinfty quando xtoinfty. Subtrair 1 não muda isso.
Logo
limxtoinfty(2^x-1)=+infty

Passo 4

Item (c): as curvas com e^x
  1. Referência:
    • y=e^x é igualzinha à 2^x em forma, só muda a base.
  2. Para y=1-e^x:
    • Primeiro, y=-e^x é o e^x refletido no eixo x (vira uma curva decrescente indo pra -infty à direita, com assíntota y=0).
    • Depois soma 1: desloca tudo pra cima 1; a assíntota passa a ser y=1.
  3. Para y=1-e^-x:
    • e^-x é o e^x espelhado no eixo y (decresce para 0 quando xtoinfty, explode em +infty quando xto -infty).
    • Multiplica por -1 e soma 1: fica uma curva que vai de -infty (quando xto -infty) até se aproximar de 1 por baixo (quando xtoinfty).

Passo 5

Item (d): limxto -infty(1-e^-x)
Quando xto -infty, -xto+infty, então e^-xto+infty. Assim
1-e^-x;=;1-l(muito grander);longrightarrow;-infty

Resposta

(b) +infty
(d) -infty

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