(a) Caso exista, encontre uma função potencial para V(x, y)=(2 x y^3-y^2 cos x, 1- 2 y sin x+3 x^2 y^2)
(b) Calcule integralC(2 x y^3-y^2 cos x) d x+(1-2 y sin x+3 x^2 y^2) d y, onde C é o arco de parábola 2 x=pi y^2, de (0,0) a (pi / 2,1). (Resp.: pi^2 / 4.)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
V(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y)=2xy^3 - y^2cos x, Q(x,y)=1-2ysin x+3x^2y^2,
e pede em (a) uma função potencial (caso exista) e em (b) o valor do integral de linha
integralC P,dx + Q,dy
no arco de parábola 2x=pi y^2 de (0,0) a (pi/2,1).
O conteúdo é “campo conservativo e potencial” e a linha de ação é checar se partial P/partial y = partial Q/partial x e, em caso afirmativo, usar a integração de P em x (ou de Q em y) para achar o potencial, e depois aplicar o Teorema Fundamental para o integral de linha.

Passo 2

Verificamos se V é conservativo, isto é, se são iguais as derivadas cruzadas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(2xy^3 - y^2cos xr) =6xy^2 - 2ycos x,
partial Qpartial x = partialpartial xl(1 - 2ysin x + 3x^2y^2r) =-2ycos x + 6xy^2
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, o campo é conservativo e existe uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = V.

Passo 3

Para achar f(x,y) integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral P(x,y),dx = integral l(2xy^3 - y^2cos xr),dx = x^2y^3 - y^2sin x + h(y),
onde h(y) é “constante” de integração em relação a x. Agora impomos
partial fpartial y = 3x^2y^2 - 2ysin x + h'(y) stackrel!= Q(x,y) =1 - 2ysin x + 3x^2y^2
Dessa comparação vem h'(y)=1, logo h(y)=y+C. Escolhendo C=0, obtemos
boxedf(x,y)=x^2y^3 - y^2sin x + y

Passo 4

Como o campo é conservativo e C vai de (0,0) a (pi/2,1), vale o Teorema Fundamental:
integralC P,dx+Q,dy = f!l(tfracpi2,1r)-f(0,0)
Calculamos
f!l(tfracpi2,1r) =l(tfracpi2r)^2cdot1^3 - 1^2sin!l(tfracpi2r) + 1 =pi^24-1+1 =pi^24,
f(0,0)=0^2cdot0^3 - 0^2sin0 + 0 = 0
Portanto o integral é pi^2/4.

Resposta

(a) f(x,y)=x^2y^3 - y^2sin x + y
(b) integralC P,dx+Q,dy = pi^24

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