(a) Caso exista, encontre uma função potencial para
(b) Calcule
, onde
é o arco de parábola
, de
a
. (Resp.:
.)
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
e pede em (a) uma função potencial (caso exista) e em (b) o valor do integral de linha
no arco de parábola
de
a
.
O conteúdo é “campo conservativo e potencial” e a linha de ação é checar se e, em caso afirmativo, usar a integração de
em
(ou de
em
) para achar o potencial, e depois aplicar o Teorema Fundamental para o integral de linha.
O conteúdo é “campo conservativo e potencial” e a linha de ação é checar se
Passo 2
Verificamos se
é conservativo, isto é, se são iguais as derivadas cruzadas:
Como
, o campo é conservativo e existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Para achar
integramos
em relação a
:
onde
é “constante” de integração em relação a
. Agora impomos
Dessa comparação vem
, logo
. Escolhendo
, obtemos
Passo 4
Como o campo é conservativo e
vai de
a
, vale o Teorema Fundamental:
Calculamos
Portanto o integral é
.
Resposta
(a)
(b)
(b)