Seja a um inteiro positivo. Qual é o máximo divisor comum de a e a+2 ?

Passo 1

O enunciado pede \gcd(a,a+2) onde a é inteiro positivo. O conteúdo principal é algorítmo de Euclides para máximo divisor comum (MDC). Vamos aplicar essa técnica para simplificar o problema.

Passo 2

Pelo algorítmo de Euclides, temos
\gcd(a,a+2)=\gcd(a+2 - a,\;a)=\gcd(2,a).
Isto reduz o cálculo do MDC de (a,a+2) ao de (2,a).

Passo 3

Agora avaliamos \gcd(2,a). Existem dois casos, conforme a paridade de a:
  • Se a for par, então 2 divide a e \gcd(2,a)=2.
  • Se a for ímpar, então 2 não divide a e \gcd(2,a)=1.

Resposta

\gcd(a,a+2)= \begin{cases} 2, & \text{se \(a\) for par},\\ 1, & \text{se \(a\) for ímpar}. \end{cases}í

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