Calcule a integral de linha integralC^F cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=z i+y j-x k, r(t)=t i+sen t j+cos t k, 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCFcdot dr,
onde o campo vetorial é
F(x,y,z)=z,i+y,j-x,k
e a curva está parametrizada por
r(t)=t,i+sin t,j+cos t,k, 0<= t<=pi
O conteúdo aqui é a definição de integral de linha de um campo vetorial:
integralCFcdot dr =integrala^bF(r(t))cdotr'(t),dt

Passo 2

Calcular a derivada da parametrização para obter dr:
r'(t) =ddtl(t,sin t,cos tr) =(1,cos t,-sin t),
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dr=l(1,cos t,-sin tr),dt

Passo 3

Avaliar o campo em r(t):
Fl(r(t)r) =l(z,;y,;-xr)|(x,y,z)=(t,sin t,cos t) =(cos t,;sin t,;-t)

Passo 4

Formar o produto escalar F(r(t))cdotr'(t):
(cos t,sin t,-t)cdot(1,cos t,-sin t) =cos t+sin tcos t+tsin t

Passo 5

Integrar de 0 a pi termo a termo:
integral0^picos t,dt=0, integral0^pisin tcos t,dt =12integral0^pisin2t,dt=0,
integral0^pitsin t,dt =l[-tcos t+sin tr]0^pi =l(-picospi+sinpir)-0 =pi
Somando, a integral vale pi.

Resposta

pi

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