Considere a região R do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^2 e y=8-x^2.
Esboce a região R e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a região R no primeiro quadrante, delimitada pelas curvas y = x^2 e y = 8 - x^2. O conteúdo aqui envolve geometria analítica e cálculo para encontrar a área entre essas curvas. Pra resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas curvas se interceptam e depois calcular a área entre elas usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação x^2 = 8 - x^2.
Então:
x^2 = 8 - x^2 x^2 + x^2 = 8 2x^2 = 8 x^2 = 4 x = pm 2
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos x = 2.

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região R. No primeiro quadrante, temos duas curvas:
  1. y = x^2: uma parábola que abre pra cima.
  2. y = 8 - x^2: uma parábola que abre pra baixo.
Elas se interceptam em x = 2. Então, a região R está entre x = 0 e x = 2, e entre as duas parábolas.

Passo 4

Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos subtrair a função de menor valor da de maior valor dentro do intervalo de integração, que é de x = 0 a x = 2.
A função de cima é y = 8 - x^2 e a de baixo é y = x^2. Então, a área A é:
A = integral0^2 ( (8 - x^2) - x^2 ) dx = integral0^2 (8 - 2x^2) dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
A = integral0^2 (8 - 2x^2) dx = [ 8x - 2x^33 ]0^2 = ( 8 cdot 2 - 2 cdot (2)^33 ) - ( 8 cdot 0 - 2 cdot 0^33 ) = 16 - 163 - 0 = 483 - 163 = 323

Resposta

A área da região R é dfrac323 unidades de área.

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