Considere a região
do primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
.
Esboce a região
e calcule sua área.
Esboce a região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a região
no primeiro quadrante, delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo aqui envolve geometria analítica e cálculo para encontrar a área entre essas curvas. Pra resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas curvas se interceptam e depois calcular a área entre elas usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação
.
Então:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região
. No primeiro quadrante, temos duas curvas:
-
: uma parábola que abre pra cima. -
: uma parábola que abre pra baixo.
Elas se interceptam em
. Então, a região
está entre
e
, e entre as duas parábolas.
Passo 4
Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos subtrair a função de menor valor da de maior valor dentro do intervalo de integração, que é de
a
.
A função de cima é
e a de baixo é
. Então, a área
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.