Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.
Escolha uma opção:
x^2+y^2-2 x y+2 a x+2 a y+3 a^2=0

Passo 1

O enunciado dá os pontos
,A=(a,0), ,B=(0,a) e ,C=(a,a)
e pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P à reta que passa por A e B seja igual à distância de P ao ponto C.
Conteúdo: distância ponto–reta e distância ponto–ponto no plano.

Passo 2

A reta AB é a que passa por A e B. Como A e B satisfazem x+y=a, a equação em forma geral é
x + y - a = 0
Logo, a distância de P=(x,y) a essa reta é
dreta = lvert x + y - arvertraiz1^2 + 1^2 = lvert x + y - arvertraiz2

Passo 3

A distância de P a C=(a,a) é
dC = raiz(x - a)^2 + (y - a)^2
Queremos
dreta = dC Longrightarrow (x+y - a)^22 ;=;(x - a)^2 + (y - a)^2

Passo 4

Multiplicando por 2 e expandindo ambos os lados:
Lado esquerdo
(x+y-a)^2 = x^2 + y^2 + a^2 + 2xy - 2a x - 2a y
Lado direito
2l[(x-a)^2 + (y-a)^2r] =2l[x^2 -2a x +a^2 + y^2 -2a y +a^2r] =2x^2+2y^2 -4a(x+y) +4a^2

Passo 5

Igualando e trazendo tudo para um lado:
x^2 + y^2 + a^2 + 2xy - 2a(x+y) ;-!l(2x^2+2y^2 -4a(x+y)+4a^2r)=0
Longrightarrow -,x^2 -y^2 +2xy +2a x +2a y -3a^2=0
Multiplicando por -1:
x^2 + y^2 -2xy -2a x -2a y +3a^2 = 0

Resposta

A equação do lugar geométrico é
x^2 + y^2 -2xy ;-;2a,x;-;2a,y;+;3a^2 ;=;0

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