Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.
Escolha uma opção:
x^2+y^2-2 x y-2 a x-2 a y+3 a^2=0

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P:(x,y) tais que a distância de P à reta que passa por A:(a,0) e B:(0,a) seja igual à distância de P ao ponto C:(a,a). Vamos usar geometria analítica: equação de reta, fórmula da distância ponto-reta e fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Determinar a equação da reta AB. O coeficiente angular é
m = a-00-a = -1,
e passando por A:(a,0) temos
y - 0 = -1,(x - a)Longrightarrow y = -x + a
ou, na forma geral,
x + y - a = 0

Passo 3

Aplicar a fórmula da distância de P:(x,y) à reta x+y-a=0:
dreta = l|x + y - ar|raiz1^2 + 1^2 = l|x + y - ar|raiz2

Passo 4

Aplicar a fórmula da distância de P:(x,y) ao ponto C:(a,a):
dponto = raiz(x - a)^2 + (y - a)^2
Igualando as distâncias e elevando ao quadrado para eliminar raízes:
(x + y - a)^22 = (x - a)^2 + (y - a)^2

Passo 5

Expandir ambos os lados e simplificar.
Lado esquerdo:
(x + y - a)^2 = x^2 + y^2 + a^2 + 2xy - 2ax - 2ay
Lado direito:
2l[(x - a)^2 + (y - a)^2r] = 2l[x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2r] = 2x^2 + 2y^2 - 4ax - 4ay + 4a^2
Subtraindo o lado direito do esquerdo e multiplicando por -1 obtemos
x^2 + y^2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a^2 = 0

Resposta

x^2 + y^2 - 2,x,y - 2,a,x - 2,a,y + 3,a^2 = 0

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