Sejam A:(a, 0), B:(0, a) e C:(a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x, y) cuja distância à reta que passa por A e B é igual à distância de P ao ponto C.
Escolha uma opção:
x^2+y^2+2 x y+2 a x+2 a y+3 a^2=0

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P:(x,y) que satisfazem
a distância de P à reta que passa por A:(a,0) e B:(0,a)
igual à distância de P ao ponto C:(a,a).
Este problema usa distância ponto–reta e ponto–ponto em geometria analítica.

Passo 2

Primeiro achamos a equação da reta AB. Como A=(a,0) e B=(0,a),
o coeficiente angular é
m = a-00-a = -1
e, passando por A, a reta é
y - 0 = -1,(x - a) Longrightarrow x + y = a

Passo 3

A distância de P=(x,y) à reta x+y=a é
dreta = l|x+y - ar|raiz1^2 + 1^2 = l|x+y - ar|raiz2
A distância de P a C=(a,a) é
dponto = raiz(x-a)^2 + (y-a)^2
Igualando dreta = dponto e elevando ao quadrado,
(x+y - a)^22 = (x-a)^2 + (y-a)^2

Passo 4

Multiplicando por 2 e expandindo,
(x+y - a)^2 = 2l[(x-a)^2 + (y-a)^2r] ;Longrightarrow; x^2 + y^2 + 2xy - 2a(x+y) + a^2 = 2x^2 + 2y^2 -4a(x+y) +4a^2
Trazendo tudo para um lado,
0 = 2x^2+2y^2 -4a(x+y) +4a^2 -l(x^2+y^2+2xy -2a(x+y)+a^2r)
Longrightarrow 0 = x^2 + y^2 -2xy -2a x -2a y +3a^2

Resposta

A equação correta do lugar geométrico é
x^2 + y^2 - 2xy - 2a x - 2a y + 3a^2 = 0,
portanto a opção
x^2+y^2+2xy+2ax+2ay+3a^2=0
não está correta.

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