Considere a função f(x)=sumn in N: rn<x an onde rn=1-12^n e an=1n^3 / 2.
Determine todos os pontos de descontinuidade de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sum,ninN:rn<xan,
onde
rn=1-12^n, an=1n^3/2
Repare que a sequência rn é estritamente crescente e tende a 1, e sum an converge (pelo teste de p-série com p=tfrac32>1). Vamos estudar onde f é descontínua, sabendo que ela só pode ter saltos onde a soma de termos an aumenta de valor.

Passo 2

Para x<r1=1/2 não há nenhum n tal que rn<x, logo
f(x)=0
nesse intervalo. Se rk<x<rk+1 para algum k, então os únicos índices que cumprem rn<x são n=1,2,dots,k, e assim
f(x)=sumn=1^k an,
que é constante em (rk,rk+1). Para x>1 temos rn<x para todo n, logo
f(x)=sumn=1^infty an,
também constante em (1,infty). Em todos esses trechos, f é contínua.

Passo 3

No ponto x=rk temos
f(rk)=sumn:rn<rkan =sumn=1^k-1an,
pois rk<rk não entra na soma. O limite pela direita é
limxto rk^+f(x)=sumn=1^k an =sumn=1^k-1an + ak neq f(rk)
Logo ocorre um salto de tamanho ak>0, ou seja, f é descontínua em cada rk.

Passo 4

Em x=1 temos rn<1 para todo n, então
f(1)=sumn=1^infty an,
e os limites laterais valem também sumn=1^infty an, mostrando continuidade em x=1. Para x<r1 e em qualquer intervalo (rk,rk+1) já vimos que f é constante e, portanto, contínua.

Resposta

Os pontos de descontinuidade de f são exatamente
l,rn=1-tfrac12^n:ninNr

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