Considere a função
onde
e
.
Determine todos os pontos de descontinuidade de
.
Determine todos os pontos de descontinuidade de
Passo 1
O enunciado define a função
onde
Repare que a sequência
é estritamente crescente e tende a 1, e
converge (pelo teste de p-série com
). Vamos estudar onde
é descontínua, sabendo que ela só pode ter saltos onde a soma de termos
aumenta de valor.
Passo 2
Para
não há nenhum
tal que
, logo
nesse intervalo. Se
para algum
, então os únicos índices que cumprem
são
, e assim
que é constante em
. Para
temos
para todo
, logo
também constante em
. Em todos esses trechos,
é contínua.
Passo 3
No ponto
temos
pois
não entra na soma. O limite pela direita é
Logo ocorre um salto de tamanho
, ou seja,
é descontínua em cada
.
Passo 4
Em
temos
para todo
, então
e os limites laterais valem também
, mostrando continuidade em
. Para
e em qualquer intervalo
já vimos que
é constante e, portanto, contínua.
Resposta
Os pontos de descontinuidade de
são exatamente