Seja
Verifique que
é conservativo;
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial
é conservativo. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo vetorial é conservativo usando o rotor (ou curl).
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que o campo pode ser derivado de uma potencial escalar. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotor (ou curl) do campo é zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotor de
. O rotor de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
, e
.
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotor:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
- Componente
:
Então:
Passo 5
Com todas as componentes do rotor sendo zero:
Isso significa que o rotor de
é nulo.
Resposta
Como o rotor de
é zero, concluímos que o campo vetorial
é conservativo.