Seja f=(y z+2) i+(x z+1) j+(x y+2 z) k
Verifique que f é conservativo;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o campo vetorial f = (y z + 2)i + (x z + 1)j + (x y + 2 z)k é conservativo. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo vetorial é conservativo usando o rotor (ou curl).

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar phi tal que f = nabla phi . Isso significa que o campo pode ser derivado de uma potencial escalar. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotor (ou curl) do campo é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotor de f . O rotor de um campo vetorial f = Pi + Qj + Rk é dado por:
nabla times f = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P = y z + 2 , Q = x z + 1 , e R = x y + 2 z .

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotor:
  1. Componente i :
partial Rpartial y = partialpartial y(x y + 2 z) = x
partial Qpartial z = partialpartial z(x z + 1) = x
Então:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = x - x = 0
  1. Componente j :
partial Ppartial z = partialpartial z(y z + 2) = y
partial Rpartial x = partialpartial x(x y + 2 z) = y
Então:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = y - y = 0
  1. Componente k :
partial Qpartial x = partialpartial x(x z + 1) = z
partial Ppartial y = partialpartial y(y z + 2) = z
Então:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = z - z = 0

Passo 5

Com todas as componentes do rotor sendo zero:
nabla times f = 0i + 0j + 0k = 0
Isso significa que o rotor de f é nulo.

Resposta

Como o rotor de f é zero, concluímos que o campo vetorial f = (y z + 2)i + (x z + 1)j + (x y + 2 z)k é conservativo.

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