Calcule a integral de linha integralc F d S, onde o campo vetorial é dado por F(x, y, z)=(-y, x, 2 z) e a curva é c(t)=(2 cos (t), 3 sen(t), 3 t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x,y,z)=(-y,x,2z) ao longo da curva c(t)=(2cos(t),,3sin(t),,3t), com 0<= t<= pi. Vamos usar a fórmula
integralcF,dr ;=;integrala^bF(c(t))cdot c'(t),dt

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada da parametrização e o campo vetorial ao longo de c(t).
A derivada é
c'(t)=(-2sin(t),,3cos(t),,3)
O campo em c(t) fica
F(c(t)) = l(-3sin(t),,2cos(t),,6tr)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
F(c(t))cdot c'(t) = (-3sin t)(-2sin t) + (2cos t)(3cos t) + (6t)(3)
Note que
(-3sin t)(-2sin t)+ (2cos t)(3cos t) =6sin^2 t +6cos^2 t =6,
então
F(c(t))cdot c'(t)=6+18t

Passo 4

Basta integrar de 0 a pi:
integral0^pi l(6+18tr),dt = [6t +9t^2]0^pi =6pi +9pi^2

Resposta

6pi +9pi^2

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