Mostre que o campo vetorial
é conservativo, determine uma função
tal que
e calcule
, onde
é qualquer caminho ligando os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que ele é conservativo, encontrar uma função potencial tal que
e pede para mostrar que ele é conservativo, encontrar uma função potencial
e, por fim, calcular a integral de linha
ao longo de qualquer curva
de
a
.
Para isso vamos usar o teste do rotacional e, em seguida, construir integrando componente a componente.
Para isso vamos usar o teste do rotacional e, em seguida, construir
Passo 2
Verificamos se
satisfaz
.
As componentes do rotacional são
As componentes do rotacional são
Portanto
e como o domínio é todo
(simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos a primeira equação em
:
Depois impomos a segunda:
Por fim, da terceira:
Assim, uma potencial válida é
Podemos escolher
se quisermos
.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
Com
temos
logo
Resposta
A função potencial é
(até constante) e vale