Mostre que o campo vetorial F(x, y, z)=(2 x, 3 y^2, 4 z^3) é conservativo, determine uma função phi: R^3 R tal que F=grad(phi) e calcule integralc F d S, onde c é qualquer caminho ligando os pontos (0,0,0) e (1,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(2x,;3y^2,;4z^3r)
e pede para mostrar que ele é conservativo, encontrar uma função potencial phi:R^3toR tal que
F = nabla phi,
e, por fim, calcular a integral de linha
integralc Fcdot dr
ao longo de qualquer curva c de (0,0,0) a (1,1,1).
Para isso vamos usar o teste do rotacional e, em seguida, construir phi integrando componente a componente.

Passo 2

Verificamos se F satisfaz nablatimesF = 0.
As componentes do rotacional são
l(nablatimesFr)1 = partialpartial y(4z^3) - partialpartial z(3y^2) = 0 - 0 = 0,
l(nablatimesFr)2 = partialpartial z(2x) - partialpartial x(4z^3) = 0 - 0 = 0,
l(nablatimesFr)3 = partialpartial x(3y^2) - partialpartial y(2x) = 0 - 0 = 0
Portanto
nablatimesF = (0,0,0),
e como o domínio é todo R^3 (simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Procuramos phi tal que
partial phipartial x = 2x, partial phipartial y = 3y^2, partial phipartial z = 4z^3
Integramos a primeira equação em x:
phi(x,y,z) = integral 2x,dx = x^2 + g(y,z)
Depois impomos a segunda:
partial phipartial y = partialpartial yl(x^2 + g(y,z)r) = gy(y,z) stackrel!= 3y^2 Longrightarrow g(y,z) = integral 3y^2,dy = y^3 + h(z)
Por fim, da terceira:
partial phipartial z = partialpartial zl(x^2 + y^3 + h(z)r) = h'(z) stackrel!= 4z^3 Longrightarrow h(z) = integral 4z^3,dz = z^4 + C
Assim, uma potencial válida é
phi(x,y,z) = x^2 + y^3 + z^4 + C
Podemos escolher C=0 se quisermos phi(0,0,0)=0.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
integralcFcdot dr = phil(1,1,1r) - phil(0,0,0r)
Com C=0 temos
phi(1,1,1) = 1^2 + 1^3 + 1^4 = 3, phi(0,0,0) = 0,
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integralcFcdot dr = 3

Resposta

A função potencial é phi(x,y,z)=x^2+y^3+z^4 (até constante) e vale
integralcF,dS ;=; 3

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