Calcule a integral de linha integralc z d s, onde c é dada por x=cos (t), y=sen(t), z=t, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralcz,ds
onde o campo escalar é f(x,y,z)=z e a curva c é dada por
x=cos(t), y=sin(t), z=t, 0<= t<= pi2
O que precisamos usar é a parametrização r(t) e a definição de
ds=|r'(t)|,dt

Passo 2

Parametrizando a curva, temos
r(t) = l(cos(t),,sin(t),,tr)
Diferenciando em relação a t,
r'(t) = l(-sin(t),,cos(t),,1r)
O diferencial de arco é
ds = |r'(t)|,dt = raiz(-sin(t))^2+(cos(t))^2+1^2,dt = raiz1+1,dt = raiz2,dt

Passo 3

Na integral de linha substituímos z=t e ds=raiz2,dt, obtendo
integralcz,ds = integral0^pi2 t;raiz2,dt

Passo 4

Basta agora calcular a integral em t:
integral0^pi2 t,dt = [t^22]0^pi2 = 12l(pi2r)^2 = pi^28
Portanto,
integral0^pi2 t,raiz2,dt = raiz2,pi^28 = pi^2raiz28

Resposta

pi^2raiz28

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