Calcule a integral de linha integralc(x^2-y^2) d s, onde c é dada por x=5 cos (t), y=5 sen(t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar sobre a circunferência de raio 5, dada por
Ccolon x=5cos t,;y=5sin t,;0<= t<=2pi,
e a integra é
integralCl(x^2-y^2r),ds.
O conteúdo aqui é integrais de linha de função escalar, então vamos parametrizar a curva, calcular ds, expressar o integrando em função de t e finalmente integrar.

Passo 2

Calculamos primeiro ds. Como
x(t)=5cos t, y(t)=5sin t,
temos
dxdt=-5sin t, dydt=5cos t,
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ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt =raiz25sin^2t+25cos^2t,dt =5,dt

Passo 3

Expressamos o integrando x^2-y^2 em termos de t:
x^2-y^2=(5cos t)^2-(5sin t)^2 =25l(cos^2t-sin^2tr) =25cos(2t)

Passo 4

Substituindo na integral de linha, obtemos
integralCl(x^2-y^2r),ds =integral0^2pi25cos(2t);l(5,dtr) =125integral0^2picos(2t),dt
A antiderivada de cos(2t) é tfrac12sin(2t), então
125integral0^2picos(2t),dt =125l[12sin(2t)r]0^2pi =1252l(sin(4pi)-sin0r) =0

Resposta

0

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