Calcule a integral de linha integralc F d S, onde o campo vetorial é dado por F(x, y)=(2 x y, x^2) e a curva é c(t)=(t, t^2), 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha integralcF,dS para o campo vetorial F(x,y)=(2xy,,x^2) ao longo da curva paramétrica c(t)=(t,,t^2), 0<= t<=2. Vamos usar a definição
integralcF,dS ;=;integrala^bF(c(t))cdot c'(t),dt
e calcular c'(t), F(c(t)) e o produto escalar.

Passo 2

Calculamos a derivada da curva:
c'(t) = l(1,,2tr)
Agora, substituímos c(t) em F:
F(c(t)) = l(2,t,(t^2),,t^2r) = l(2t^3,,t^2r)

Passo 3

Fazemos o produto escalar entre F(c(t)) e c'(t):
F(c(t))cdot c'(t) = (2t^3)cdot 1 ;+; (t^2)cdot(2t) = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3

Passo 4

Finalmente, integramos de t=0 a t=2:
integral0^24t^3,dt = 4integral0^2t^3,dt = 4[t^44]0^2 = l[t^4r]0^2 = 2^4 - 0 = 16

Resposta

16

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