Considere a função
f(x)=x^3-6 x^2+9 x+2
Determine os pontos críticos de f.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x)=x^3-6x^2+9x+2. Como o domínio é todo R e f é diferenciável, os pontos críticos são os valores de x para os quais f'(x)=0 (ou onde f' não existe, o que não ocorre aqui).

Passo 2

Calcular a derivada de f. Aplicando a regra de potência em cada termo, obtemos
f'(x)=3x^2-12x+9

Passo 3

Resolver a equação f'(x)=0. Fatorando o polinômio:
3x^2-12x+9 = 3l(x^2-4x+3r) = 3(x-1)(x-3)
Assim, as soluções são
x=1 e x=3

Passo 4

Para obter os pontos críticos no plano, calculamos f(1) e f(3):
f(1)=1^3-6cdot1^2+9cdot1+2 = 1-6+9+2 = 6,
f(3)=3^3-6cdot3^2+9cdot3+2 = 27-54+27+2 = 2
Portanto os pontos críticos são (1,6) e (3,2).

Resposta

Os pontos críticos de f são (1,6) e (3,2).

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