Use o Teorema de Green para determinar integralc(x-3 y) d x+(4 x+y) d y, onde c é o retângulo com vértices (-2,0),(3,0),(3,2) e (-2,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointc(x-3y),dx+(4x+y),dy
onde c é o contorno do retângulo com vértices (-2,0), (3,0), (3,2) e (-2,2).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que diz que, para uma curva simples fechada positivamente orientada e um campo vetorial F=(P,Q), vale
ointcP,dx+Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde D é a região interna a c.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x-3y, Q(x,y)=4x+y
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(4x+y)=4, partial Ppartial y =partialpartial y(x-3y)=-3

Passo 3

O integrando do Teorema de Green fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =4-(-3)=7

Passo 4

A região D é o retângulo dado por -2<= x<=3 e 0<= y<=2. Então
integral duplaD7,dA =7integral duplaD1,dA =7cdotÁrea(D) =7cdotl((3-(-2))times(2-0)r) =7cdot(5times2) =70 Á

Resposta

70

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