Mostre que o campo vetorial F(x, y, z)=(y+y z, x+3 z^3+x z, 9 y z^2+x y-1) é conservativo, determine uma função phi: R^3 R tal que F=grad(phi) e calcule integralc F d S, onde c é qualquer caminho ligando os pontos (1,1,1) e (2,1,4).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(y+yz,;x+3z^3+xz,;9yz^2+xy-1r)
é conservativo em R^3, encontrar um potencial phi tal que nablaphi=F e, por fim, calcular
integralcFcdot dS para um caminho c ligando (1,1,1) a (2,1,4).
Vamos usar o teste nablatimes F=0 para provar que F é conservativo (o domínio é simplesmente conexo) e então determinar phi integrando as componentes de F.

Passo 2

Verificamos o rotacional nablatimes F:
nablatimes F =l(partialy R-partialz Q,;partialz P-partialx R,;partialx Q-partialy Pr)
Calculemos cada termo:
partialy R = partialyl(9yz^2+xy-1r) = 9z^2 + x.
partialz Q = partialzl(x+3z^3+xzr) = 9z^2 + x.
Portanto partialy R-partialz Q=0.
partialz P = partialzl(y+yzr)=y.
partialx R = partialxl(9yz^2+xy-1r)=y.
Logo partialz P-partialx R=0.
partialx Q = partialxl(x+3z^3+xzr)=1+z.
partialy P = partialyl(y+yzr)=1+z.
Assim partialx Q-partialy P=0.
Concluímos que nablatimes F=0, logo F é conservativo em R^3.

Passo 3

Para achar o potencial phi(x,y,z) satisfazendo
nablaphi = l(phix,phiy,phizr) = (P,Q,R), integramos:
  1. Integramos P=y+yz em relação a x:
phi(x,y,z)=integral (y+yz),dx = xy + xyz + g(y,z)
  1. Derivamos em y e igualamos a Q:
phiy = x + xz + gy(y,z) stackrel!= x + 3z^3 + xz implies gy(y,z)=3z^3
Integramos em y:
g(y,z)=3yz^3 + h(z)
  1. Então
phi(x,y,z)=xy + xyz + 3yz^3 + h(z)
Derivamos em z e igualamos a R:
phiz = xy + 9yz^2 + h'(z) stackrel!= 9yz^2 + xy -1 implies h'(z)=-1 implies h(z)=-z + C
Podemos tomar C=0.
Logo um potencial é
phi(x,y,z)=xy + xyz + 3yz^3 - z

Passo 4

Como F é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
integralcFcdot dS =phil(2,1,4r)-phil(1,1,1r)
Calculamos:
phi(2,1,4) =2cdot1 + 2cdot1cdot4 + 3cdot1cdot4^3 - 4 =2 + 8 + 3cdot64 - 4 =2 + 8 + 192 - 4 =198,
phi(1,1,1) =1cdot1 + 1cdot1cdot1 + 3cdot1cdot1^3 - 1 =1 + 1 + 3 - 1 =4
Portanto
integralcFcdot dS =198 - 4 = 194

Resposta

O campo é conservativo,
phi(x,y,z)=xy + xyz + 3yz^3 - z,
e
integralcF,dS = 194

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