Mostre que o campo vetorial
é conservativo, determine uma função
tal que
e calcule
, onde
é qualquer caminho ligando os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo em
, encontrar um potencial
tal que
e, por fim, calcular
para um caminho
ligando
a
.
Vamos usar o teste para provar que
é conservativo (o domínio é simplesmente conexo) e então determinar
integrando as componentes de
.
Vamos usar o teste
Passo 2
Verificamos o rotacional
:
Calculemos cada termo:
.
.
Portanto .
Portanto
Logo
Assim
Concluímos que
, logo
é conservativo em
.
Passo 3
Para achar o potencial
satisfazendo
, integramos:
- Integramos
em relação a :
- Derivamos em
e igualamos a :
Integramos em
:
- Então
Derivamos em
e igualamos a
:
Podemos tomar
.
Logo um potencial é
Passo 4
Como
é conservativo, a integral de linha independe do caminho e vale
Calculamos:
Portanto
Resposta
O campo é conservativo,
e