Calcule a integral de linha integralC f d s, onde C é a curva dada.
integralC(x y+y+z) d s, C(t)=(2 t, t, 2-2 t), 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \r
integralC(x y+y+z),ds\r
ao longo da curva paramétrica \r
r(t)=(2t,;t,;2-2t), 0<= t<=1\r
O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar, que exige as etapas de parametrizar a curva, calcular r'(t), o elemento de comprimento de arco ds e avaliar a integral em t.

Passo 2

Primeiro achamos a derivada da parametrização e o seu módulo para obter ds. \r
r'(t)=l(2,;1,;-2r),\r
logo\r
|r'(t)|=raiz2^2+1^2+(-2)^2=raiz4+1+4=raiz9=3\r
Assim\r
;ds=|r'(t)|,dt=3,dt

Passo 3

Agora avaliamos o campo escalar ao longo de . Temos\r

Passo 4

A integral de linha fica\r
\r
Calculando,\r
\r
Multiplicando por 3,\r
3cdottfrac136=tfrac132

Resposta

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