Dada a função
, prove que qualquer reta tangente a
intersecta ela em um único ponto.
Será que isso acontece com a função
?
Será que isso acontece com a função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a função
, qualquer reta tangente toca o gráfico de
em exatamente um ponto. Em seguida, avaliar se o mesmo ocorre para
. Vamos usar derivadas para obter a equação da reta tangente em um ponto genérico
e depois resolver o sistema formado pela reta e pela curva para contar as interseções.
Passo 2
Para
, a derivada é
Logo, a reta tangente em
passa por
com coeficiente angular
. Sua equação é
Passo 3
Para encontrar as interseções, igualamos
e a reta:
que é
Esse polinômio tem única raiz real
, com multiplicidade 2. Portanto a reta tangente intersecta o gráfico de
apenas em
.
Passo 4
Para
, temos
então a reta tangente em
é
Igualando
e essa reta:
Fatorando, obtém-se
cujas soluções reais são
(dupla) e
.
Resposta
Para
, toda reta tangente toca o gráfico apenas em
.
Para , a reta tangente em
também toca em
(ponto de tangência) mas intersecta de novo em
(salvo o caso degenerado
).
Para