Dada a função f(x)=x^2, x in R, prove que qualquer reta tangente a f intersecta ela em um único ponto.
Será que isso acontece com a função g(x)=x^3?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a função f(x)=x^2, qualquer reta tangente toca o gráfico de f em exatamente um ponto. Em seguida, avaliar se o mesmo ocorre para g(x)=x^3. Vamos usar derivadas para obter a equação da reta tangente em um ponto genérico a e depois resolver o sistema formado pela reta e pela curva para contar as interseções.

Passo 2

Para f(x)=x^2, a derivada é
f'(a)=2a
Logo, a reta tangente em x=a passa por l(a,f(a)r)=(a,a^2) com coeficiente angular 2a. Sua equação é
y = f(a) + f'(a),(x - a) = a^2 + 2a,(x - a) = 2a,x - a^2

Passo 3

Para encontrar as interseções, igualamos f(x) e a reta:
x^2 = 2a,x - a^2
que é
x^2 - 2a,x + a^2 = 0 Long<=ftrightarrow (x - a)^2 = 0
Esse polinômio tem única raiz real x=a, com multiplicidade 2. Portanto a reta tangente intersecta o gráfico de f apenas em x=a.

Passo 4

Para g(x)=x^3, temos
g'(a)=3a^2,
então a reta tangente em x=a é
y = a^3 + 3a^2,(x - a) = 3a^2,x - 2a^3
Igualando g(x) e essa reta:
x^3 = 3a^2,x - 2a^3 Long<=ftrightarrow x^3 - 3a^2,x + 2a^3 = 0
Fatorando, obtém-se
(x - a)^2,(x + 2a) = 0,
cujas soluções reais são x = a (dupla) e x = -2a.

Resposta

Para f(x)=x^2, toda reta tangente toca o gráfico apenas em x=a.
Para g(x)=x^3, a reta tangente em x=a também toca em x=a (ponto de tangência) mas intersecta de novo em x=-2a (salvo o caso degenerado a=0).

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