Dada a função
f(x)=x^3-1x+7
determine f^(n), forall n in N.

Passo 1

O enunciado dá a função
e pede a derivada de ordem
Também usaremos que, para (m\in\mathbb{R}],

]

Passo 2

Derivada de ordem n do termo x^3. Aqui m=3, logo para n<=3
d^ndx^nx^3 =3!(3-n)!,x^,3-n,
e para n>3 essa derivada é zero.

Passo 3

Derivada de ordem n do termo -x^-1. Aqui m=-1, então
d^ndx^nl(-x^-1r) =-1cdot(-1-1)cdots(-1-n+1);x^-1-n =(-1)^nn!;x^-(n+1)

Passo 4

Derivada de ordem n do termo constante 7 é zero para todo n>=1.

Passo 5

Somando os resultados dos Passos 2 4, obtemos para n>=1:
se 1<= n<=3,
f^(n)(x) =3!(3-n)!,x^,3-n +(-1)^nn!,x^-(n+1),
e se n>=4, o primeiro termo some e fica
f^(n)(x)=(-1)^nn!,x^-(n+1)

Resposta

Para todo ninN, n>=1:
f^(n)(x)= 3!(3-n)!,x^,3-n +(-1)^nn!,x^-(n+1),&1<= n<=3,[1em] (-1)^nn!,x^-(n+1),&n>=4
]

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