Suponha que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que f seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que
integral duplaS f d S=integral triplaE nabla f d V
Estas integrais de superfície e triplos de funções vetoriais são vetores definidos por meio da integração de cada função do componente. [Dica: Comece por aplicar o Teorema do Divergente para F=f c, onde c é um vetor constante arbitrário.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade de vetores
integral duplaSf,dS ;=; integral triplaEnabla f,dV,
onde S=partial E é a superfície fechada que envolve o volume E, e f é uma função escalar com derivadas parciais contínuas (ou seja, fin C^1). O resultado que vamos usar é o Teorema do Divergente, que para um campo vetorial Fin C^1 diz:
integral triplaEnabla!cdot!F,dV ;=; integral duplaSFcdot dS

Passo 2

Definimos um vetor constante arbitrário cinR^3 e o campo vetorial
F(x) ;=; f(x),c
Como fin C^1 e c é constante, temos Fin C^1 e, portanto, podemos aplicar o Teorema do Divergente a F.

Passo 3

Calculemos a divergência de F. Usando a regra do produto para divergência,
nabla!cdot!F =nabla!cdot!(f,c) =ccdotnabla f
pois nabla!cdot!c=0 (vetor constante).

Passo 4

Pela aplicação do Teorema do Divergente a F, obtemos
integral triplaEl(ccdotnabla fr),dV ;=; integral triplaEnabla!cdot!F,dV ;=; integral duplaSFcdot dS ;=; integral duplaSl(f,cr)cdot dS
Mas (f,c)cdot dS=ccdotl(f,dSr), então
integral triplaEl(ccdotnabla fr),dV = c,cdot, integral duplaSf,dS

Passo 5

No lado esquerdo também podemos escrever
integral triplaEl(ccdotnabla fr),dV = c,cdot, integral triplaEnabla f,dV
Assim temos
c,cdot, integral triplaEnabla f,dV ;=; c,cdot, integral duplaSf,dS

Passo 6

Como c foi escolhido como vetor constante arbitrário, a única forma desse produto escalar se anular para todo c é se os vetores internos forem iguais. Logo
integral triplaEnabla f,dV ;=; integral duplaSf,dS

Resposta

boxed integral duplaSf,dS ;=; integral triplaEnabla f,dV

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