Suponha que
e
satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que
seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que
Estas integrais de superfície e triplos de funções vetoriais são vetores definidos por meio da integração de cada função do componente. [Dica: Comece por aplicar o Teorema do Divergente para
, onde
é um vetor constante arbitrário.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade de vetores
onde
é a superfície fechada que envolve o volume
, e
é uma função escalar com derivadas parciais contínuas (ou seja,
). O resultado que vamos usar é o Teorema do Divergente, que para um campo vetorial
diz:
Passo 2
Definimos um vetor constante arbitrário
e o campo vetorial
Como
e
é constante, temos
e, portanto, podemos aplicar o Teorema do Divergente a
.
Passo 3
Calculemos a divergência de
. Usando a regra do produto para divergência,
pois
(vetor constante).
Passo 4
Pela aplicação do Teorema do Divergente a
, obtemos
Mas
, então
Passo 5
No lado esquerdo também podemos escrever
Assim temos
Passo 6
Como
foi escolhido como vetor constante arbitrário, a única forma desse produto escalar se anular para todo
é se os vetores internos forem iguais. Logo