Calcule a integral de linha onde C é a curva dada.
integralC x / y d s, C: x=t^3, y=t^4, 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCxy,ds
onde C é a curva parametrizada por
x(t)=t^3, y(t)=t^4, 0<= t<=2
O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar f(x,y)=x/y, que se resolve usando a definição
ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt,
e depois integrando fl(x(t),y(t)r)raiz(x')^2+(y')^2 de t=0 a t=2.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas da parametrização e o elemento de arco ds.
x'(t)=3t^2, y'(t)=4t^3,
ds=raiz(3t^2)^2+(4t^3)^2;dt =raiz9t^4+16t^6;dt =t^2raiz9+16t^2;dt

Passo 3

Agora fazemos a substituição na integral. Temos
xy=t^3t^4=1t,
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xy,ds =1t;l(t^2raiz9+16t^2r),dt =traiz9+16t^2;dt
Então a integral fica
integralCxy,ds =integral0^2traiz9+16t^2;dt

Passo 4

Para calcular
integral0^2traiz9+16t^2;dt
fazemos a substituição u=9+16t^2, de onde du=32t,dt e t,dt=tfracdu32. Quando t=0, u=9; quando t=2, u=73. Assim
integral0^2traiz9+16t^2,dt =integralu=9^73raizu,du32 =132integral9^73u^1/2,du =132cdot23u^3/2|9^73 =148l(73^3/2-9^3/2r)

Resposta

boxed148l(73raiz73-27r)

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