y^prime+x y=x
Escolha uma opção:
a. y=1+c x e^(1 / 2)
b. y=1+c e^(x / 2)
c. y=c x+e^(x x / 2)
d. y=c x+e^(1 / 2)
e.
y=1+c e^-(x x / 2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para resolver a equação diferencial:
y^prime + x y = x
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa usar um método padrão que envolve encontrar um fator integrante. Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação diferencial linear na forma padrão:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Aqui, temos:
P(x) = x e Q(x) = x

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. Esse fator é uma função que, quando multiplicada pela equação original, torna a equação mais fácil de resolver. A fórmula para o fator integrante ( mu(x)) é:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) por x:
mu(x) = e^integral x , dx = e^x^22

Passo 4

Agora, vamos multiplicar toda a equação original pelo fator integrante:
e^x^22 y^prime + e^x^22 x y = e^x^22 x
Isso deixa a equação na forma:
ddx ( e^x^22 y ) = e^x^22 x

Passo 5

Aí, a gente integra ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^x^22 y ) dx = integral e^x^22 x , dx
A integral do lado esquerdo simplifica para:
e^x^22 y = integral e^x^22 x , dx + C

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Fazendo uma substituição simples:
Seja u = x^22, então du = x , dx.
Assim:
integral e^u du = e^u + C = e^x^22 + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
e^x^22 y = e^x^22 + C
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por e^x^22:
y = 1 + C e^-x^22

Resposta

A resposta correta é a opção e:
y = 1 + c, e^-x cdot x2

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