Resolva as seguintes inequações:
2 x-1x-3 <= 5

Passo 1

A questão pede para resolver a inequação fracionária 2x-1x-3 <= 5. O conteúdo aqui é inequação do tipo f(x)g(x) <= 0, então vamos precisar determinar o domínio, juntar tudo em uma única fração e usar análise de sinal.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da expressão. Como temos x-3 no denominador, não podemos ter x=3. Então o domínio é x neq 3.

Passo 3

Em seguida, levamos todos os termos para o mesmo lado e colocamos em uma única fração:
2x-1x-3 - 5 <= 0
Colocando no mesmo denominador:
2x-1 - 5(x-3)x-3 <= 0
Calculando o numerador:
$$
2x - 1 - 5x + 15 = -3x + 14 2x - 1 - 5x + 15 = -3x + 14çã\frac{-3x + 14}{x-3} \le 0.$$

Passo 4

Agora encontramos os pontos críticos, onde numerador ou denominador se anulam:
  • Numerador -3x+14=0 em x=tfrac143.
  • Denominador x-3=0 em x=3, que já excluímos do domínio.

Passo 5

Fazendo a análise de sinais da fração -3x+14x-3:
  1. Para x<3: numerador é positivo (pois x<14/3) e denominador negativo, resultando em valor negativo, que satisfaz <= 0.
  2. Para 3: numerador ainda positivo, denominador positivo, fração positiva, não satisfaz.
  3. Para x>14/3: numerador é negativo, denominador positivo, fração negativa, satisfaz.
    Também incluímos x=14/3 porque ali a fração vale zero, e zero satisfaz <= 0.

Passo 6

Portanto, combinando tudo e lembrando que xneq3, a solução é
(-infty,3)cup l[tfrac143,+inftyr)

Resposta

(-\infty,3) \cup [14/3,+\infty)

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