Calcule a integral de linha, onde gamma é a curva dada.
integralgamma(x^2 y^3-raizx) d s, gamma : arco da curva y=raizx de (1,1) a (4,2),

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo da curva y=raizx de (1,1) a (4,2). O conteúdo é integral de linha de escalar: precisamos parametrizar a curva, calcular ds, substituir na integral e integrar em uma única variável.

Passo 2

Parametrizamos por
x=t, y=raizt, tin[1,4]
Então
dxdt=1, dydt=12raizt,
e
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt =raiz1+14t,dt =raiz4t+12raizt,dt

Passo 3

A função do integrando é
f(x,y)=x^2y^3-raizx,
logo em t fica
f(t)=t^2l(raiztr)^3-raizt =t^7/2-t^1/2
Assim
integralgamma(x^2y^3-raizx),ds =integral1^4l(t^7/2-t^1/2r)raiz4t+12raizt,dt =12integral1^4(t^3-1)raiz4t+1,dt

Passo 4

Fazemos a substituição
u=4t+1Longrightarrow t=u-14, dt=du4,
com u(1)=5 e u(4)=17. Note que
t^3-1=(u-1)^3-6464,
portanto
integralgamma(x^2y^3-raizx),ds =12integral1^4(t^3-1)raiz4t+1,dt =1512integral5^17l[(u-1)^3-64r],u^1/2,du

Passo 5

Expandindo (u-1)^3=u^3-3u^2+3u-1, obtemos
1512integral5^17l(u^7/2-3u^5/2+3u^3/2-65u^1/2r),du
Integramos termo a termo:
integral u^7/2du=29u^9/2, integral u^5/2du=27u^7/2, integral u^3/2du=25u^5/2, integral u^1/2du=23u^3/2
Logo uma antiderivada é
F(u)=1512l(29u^9/2-67u^7/2+65u^5/2-1303u^3/2r)

Passo 6

A integral vale
integralgamma(x^2y^3-raizx),ds =F(17)-F(5)
Fazendo as contas e combinando os termos em raiz17 e em raiz5, chega-se a
1374115040raiz17+3051008raiz5,
que pode também ser escrito como
137411raiz17+1525raiz55040

Resposta

integralgamma(x^2y^3-raizx),ds =137411raiz17+1525raiz55040

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