Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
integralC(sen(x y)+x y cos (x y)) d x+x^2 cos (x y) d y, C(t)=(t^2-1, t^2+1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCl(sin(xy)+xycos(xy)r),dx ;+; x^2cos(xy),dy
ao longo da curva parametrizada por
C(t) = l(x(t),y(t)r) = l(t^2-1,;t^2+1r)
Aqui vamos usar o fato de que esse campo vetorial é conservativo: basta verificar a condição de exatidão e encontrar uma potencial f(x,y), depois aplicar
integralCnabla fcdot d r = fl(x(tf),y(tf)r)-fl(x(ti),y(ti)r)
Assumimos que t varia de -1 até 1, de modo que a curva fecha em l(0,2r), mas o valor da integral independe do caminho.

Passo 2

Denotemos
P(x,y)=sin(xy)+xycos(xy), Q(x,y)=x^2cos(xy)
Calculamos
partial Ppartial y =;xcos(xy);+;l[xcos(xy)-x^2ysin(xy)r] =2xcos(xy)-x^2ysin(xy),
e
partial Qpartial x =2xcos(xy);+;x^2l[-sin(xy)r],y =2xcos(xy)-x^2ysin(xy)
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que
partial f/partial x=P. Integramos em x:
f(x,y) =integrall[sin(xy)+xycos(xy)r]dx =,xsin(xy)+g(y),
onde g(y) é função só de y. Para ajustar g(y), usamos
partial fpartial y =xcdot xcos(xy)+g'(y) =x^2cos(xy)+g'(y) stackrel!=Q(x,y)=x^2cos(xy),
logo g'(y)=0 e podemos tomar
f(x,y)=xsin(xy)

Passo 4

Como t vai de -1 até 1, o ponto inicial e final são ambos
C(-1)=l(0,2r), C(1)=l(0,2r),
portanto a curva é fechada. Para um campo conservativo, a integral sobre um caminho fechado é zero:
integralCnabla fcdot d r =fl(C(1)r)-fl(C(-1)r) =0

Resposta

0

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