Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva parametrizada por
Aqui vamos usar o fato de que esse campo vetorial é conservativo: basta verificar a condição de exatidão e encontrar uma potencial
, depois aplicar
Assumimos que
varia de
até
, de modo que a curva fecha em
, mas o valor da integral independe do caminho.
Passo 2
Denotemos
Calculamos
e
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos em
:
onde
é função só de
. Para ajustar
, usamos
logo
e podemos tomar
Passo 4
Como
vai de
até
, o ponto inicial e final são ambos
portanto a curva é fechada. Para um campo conservativo, a integral sobre um caminho fechado é zero: