Determine a solução de cada EDO:
x ln (x) y^prime=-x-y, x>0

Passo 1

Temos a EDO
x ln(x) , y' = -x - y, x>0
O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem lineares, e vamos precisar colocar a EDO na forma padrão e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por xln(x), obtemos
y' = -1ln(x) - yxln(x)
Assim a equação fica no formato padrão y' + P(x)y = Q(x), com
P(x) = 1xln(x), Q(x) = -1ln(x)

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 1xln(x),dxr)
Fazendo a substituição u=ln(x), temos
integral 1xln(x),dx = integral 1u,du = ln|u| = ln(ln(x)),
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mu(x) = expl(ln(ln(x))r) = ln(x)

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x)=ln(x) e obtemos
ln(x)y' + yx = -1
Como
(yln(x))' = ln(x)y' + yx,
temos
(yln(x))' = -1
Integrando ambos os lados em relação a x, resulta
yln(x) = -x + C,
once C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, ache
y = -x + Cln(x) = C - xln(x)

Resposta

y = C - xln(x)

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