Calcule integralC 2 x cos y d x-x^2 sen y d y ao longo dos caminhos C a seguir no plano x y.
O segmento de reta de (-1, pi) a (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC2xcos y,dx - x^2sin y,dy
ao longo do segmento que une (-1,pi) a (1,0). O conteúdo envolvido é o de integrais de linha de formas diferenciais e o critério de exatidão (formas exatas).

Passo 2

Denotemos
P(x,y)=2xcos y, Q(x,y)=-x^2sin y
Para verificar se a forma P,dx+Q,dy é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partialpartial yl(2xcos yr) =-2xsin y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(-x^2sin yr) =-2xsin y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x num domínio simplesmente conexo ( R^2), a forma é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=P=2xcos y
Integrando em x:
phi(x,y)=integral 2xcos y,dx =x^2cos y + h(y)
Agora exigimos partial phi/partial y = Q:
partial phipartial y =-x^2sin y + h'(y) stackrel!= -x^2sin y ;Longrightarrow; h'(y)=0
Logo podemos tomar h(y)= constante, e fica
phi(x,y)=x^2cos y

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha para formas exatas,
integralCP,dx+Q,dy =phil(1,0r)-phil(-1,pir)
Calculamos
phi(1,0)=1^2cos0=1, phi(-1,pi)=(-1)^2cospi=1cdot(-1)=-1
Portanto
integralC2xcos y,dx - x^2sin y,dy =1 - (-1) =2

Resposta

2

Exercícios relacionados