Calcule
sen
ao longo dos caminhos
a seguir no plano
.
O segmento de reta de
a
.
O segmento de reta de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo do segmento que une
a
. O conteúdo envolvido é o de integrais de linha de formas diferenciais e o critério de exatidão (formas exatas).
Passo 2
Denotemos
Para verificar se a forma
é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
num domínio simplesmente conexo (
), a forma é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Agora exigimos
:
Logo podemos tomar
constante, e fica
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha para formas exatas,
Calculamos
Portanto