Calcule integralC 2 x cos y d x-x^2 sen y d y ao longo dos caminhos C a seguir no plano x y.
A parábola y=(x-1)^2 de (1,0) a (0,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
integralC 2xcos y,dx ;-; x^2sin y,dy
ao longo da parábola ;y=(x-1)^2; que vai de (1,0) a (0,1).
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de campo conservativo e uso de função potencial para simplificar o cálculo.

Passo 2

Denotando
P(x,y)=2xcos y, Q(x,y)=-x^2sin y,
verificamos se o campo (P,Q) é conservativo calculando
partial Ppartial y =partialpartial y(2xcos y) =-2xsin y, partial Qpartial x =partialpartial x(-x^2sin y) =-2xsin y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo em todo o plano (domínio simplesmente conexo).

Passo 3

Por ser conservativo, existe uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x=P(x,y)=2xcos y
Integramos em x:
f(x,y)=integral 2xcos y,dx =x^2cos y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial fpartial y =-x^2sin y + h'(y) stackrel!=Q(x,y)=-x^2sin y ;Longrightarrow;h'(y)=0 ;Longrightarrow;h(y)=const
Podemos escolher essa constante igual a zero, então
f(x,y)=x^2cos y
Como a integral independe do caminho, fica
integralCP,dx+Q,dy =fl(0,1r)-fl(1,0r)

Passo 5

Calculando nos pontos finais:
f(0,1)=0^2cos1=0, f(1,0)=1^2cos0=1
Logo
integralC2xcos y,dx - x^2sin y,dy =0-1=-1

Resposta

-1

Exercícios relacionados