Calcule a integral de linha integralC F d s, onde C é a curva dada.
integralC(0, x^2 y^3-raizx) d s, C é o arco da curva y=raizx, de (1,1) a (4,2) Resp.: 2438

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=l(0,,x^2y^3-raizxr)
ao longo da curva C dada por y=raizx de (1,1) até (4,2).
O que vamos usar é a definição
integralCFcdot d r=integralCP,dx+Q,dy,
juntamente com uma parametrização de C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=0, Q(x,y)=x^2y^3-raizx
Assim
integralCFcdot d r =integralC0;dx+l(x^2y^3-raizxr)dy =integralCl(x^2y^3-raizxr),dy

Passo 3

Parametrizamos C por
x=t^2, y=t, tin[1,2],
pois y=raizxiff x=t^2,y=t. Então
dx=2t,dt, dy=dt

Passo 4

Substituindo na integral:
integralCFcdot d r =integralt=1^2l((t^2)^2,t^3-raizt^2r),dt =integral1^2l(t^4,t^3-tr),dt =integral1^2l(t^7-tr),dt
Agora basta integrar:
integral1^2t^7,dt =t^88|1^2 =2^8-18 =256-18 =2558,
integral1^2t,dt =t^22|1^2 =4-12 =32
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integral1^2l(t^7-tr),dt =2558-32 =2558-128 =2438

Resposta

2438

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