Calcule a integral de linha integralC F d s, onde C é a curva dada.
integralC(x-z, 0, x) d s, C(t)=(cos (t), 0, sen(t)), 0 <= t <= pi Resp.:

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial
F(x,y,z) = (x - z,,0,,x)
ao longo da curva C dada pela parametrização
r(t) = (cos t,,0,,sin t), 0<= t<=pi
Aqui vamos usar a definição
integralC Fcdot d r ;=;integrala^b Fl( r(t)r)cdot r'(t),dt,
que é a técnica de parametrização de linhas.

Passo 2

Derivamos a parametrização para obter o vetor tangente:
r'(t) = l(-sin t,,0,,cos tr)

Passo 3

Calculamos Fl( r(t)r) e o produto escalar com r'(t):
Fl( r(t)r) = l(cos t - sin t,,0,,cos tr),
Fl( r(t)r)cdot r'(t) = (cos t - sin t)(-sin t) + cos tcdotcos t = -cos t,sin t + sin^2 t + cos^2 t = 1 - cos t,sin t

Passo 4

Integramos de 0 a pi:
integral0^pil(1 - cos t,sin tr),dt = integral0^pi1,dt ;-;integral0^picos t,sin t,dt = pi - 0 = pi,
já que integral0^picos t,sin t,dt=0.

Resposta

pi

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