Calcule a integral de linha integralC F d s, onde C é a curva dada.
integralC(-4 x y, 8 y, 2) d s, C(t)=(t, t^2, 1), 0 <= t <= 2 Resp.:

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha de campo vetorial
integralCFcdot dr
para F(x,y,z)=(-4xy,,8y,,2) sobre a curva C dada por
r(t)=(t,t^2,1), 0<= t<=2.
Vamos usar a definição
integralCFcdot dr =integrala^bF(r(t))cdotr'(t),dt

Passo 2

Calculamos o vetor velocidade r'(t) derivando cada componente de r(t):
r'(t)=(1,,2t,,0)

Passo 3

Avaliamo-s F ao longo da curva, substituindo x=t, y=t^2, z=1:
F(r(t)) =(-4,tcdot t^2,;8,t^2,;2) =(-4t^3,,8t^2,,2)

Passo 4

Calculamos o produto escalar F(r(t))cdotr'(t):
(-4t^3,,8t^2,,2)cdot(1,,2t,,0) =-4t^3+16t^3+0 =12t^3

Passo 5

Integramos de t=0 a t=2:
integralCFcdot dr =integral0^2 12t^3,dt =12cdott^44|0^2 =3cdot2^4 =48

Resposta

48

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