Calcule a integral de linha
onde
é a curva dada por
. (Sugestão: verifique se o campo é conservativo)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva dada por
O campo vetorial associado é
A sugestão é verificar se
é conservativo e então usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Para ver se
é conservativo, checamos as derivadas mistas em (que é simplesmente conexo):
Como
em todo o plano,
é conservativo.
Passo 3
Exista então uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função de
. Agora usamos
:
Podemos escolher
. Assim,
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
Temos
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Portanto