Calcule a integral de linha
integralC e^2 y d x+(1+2 x e^2 y) d y
onde C é a curva dada por r(t)=(t e^t, 1+sen(pi t / 2)), 0 <= t <= 1. (Sugestão: verifique se o campo é conservativo)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC e^2y,dx + l(1 + 2x e^2yr),dy
ao longo da curva dada por
r(t) = l(t e^t,;1 + sin!l(tfracpi t2r)r), 0<= t<=1
O campo vetorial associado é
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=e^2y,;Q(x,y)=1+2x e^2y
A sugestão é verificar se F é conservativo e então usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Para ver se é conservativo, checamos as derivadas mistas em (que é simplesmente conexo):
Como em todo o plano, é conservativo.

Passo 3

Exista então uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x=P=e^2y, partial fpartial y=Q=1+2x e^2y
Integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral e^2y,dx = x e^2y + g(y),
onde g é função de y. Agora usamos partial f/partial y=Q:
partial fpartial y =2x e^2y + g'(y) stackrel!=1 + 2x e^2y ;Longrightarrow; g'(y)=1 ;Longrightarrow; g(y)=y + C
Podemos escolher C=0. Assim,
f(x,y)=x e^2y + y

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
integralCP,dx+Q,dy =fl(r(1)r)-fl(r(0)r)
Temos
r(1) = l(e,;2r), r(0) = l(0,;1r)
Logo
fl(e,2r) = e,e^2cdot2 + 2 = e,e^4 + 2 = e^5 + 2,
fl(0,1r) = 0cdot e^2 + 1 = 1
Portanto
integralCe^2y,dx + l(1+2x e^2yr),dy = l(e^5+2r) - 1 = e^5 + 1

Resposta

e^5 + 1

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