Considere a cônica de equação cartesiana
.
(a) (5 pontos) Determine as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares dos pontos que pertencem a cônica e apresentam abscissa
.
(b) (10 pontos) Identifique a cônica e mostre que essa cônica apresenta sua equação em coordenadas polares como
(c) (10 pontos) Defina as integrais que representam o comprimento dessa cônica e sua área interna.
(a) (5 pontos) Determine as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares dos pontos que pertencem a cônica e apresentam abscissa
(b) (10 pontos) Identifique a cônica e mostre que essa cônica apresenta sua equação em coordenadas polares como
Passo 1
O enunciado dá a cônica
[\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}=1]
que é uma elipse com semi‐eixos (eixo
) e
(eixo
).
(a) pede os pontos com abscissa e suas coordenadas cartesianas e polares.
(b) quer identificar a cônica e mostrar sua forma em coordenadas polares
[r^{2}(\theta)=\frac{72}{13+5\cos2\theta}!.]
(c) pede definir as integrais que dão o comprimento da curva e a área interna.
[\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}=1]
que é uma elipse com semi‐eixos
(a) pede os pontos com abscissa
(b) quer identificar a cônica e mostrar sua forma em coordenadas polares
[r^{2}(\theta)=\frac{72}{13+5\cos2\theta}!.]
(c) pede definir as integrais que dão o comprimento da curva e a área interna.
Passo 2
(a) Substituindo
na elipse,
Logo os pontos são
Em coordenadas polares
temos
e
. Também
e
Portanto
Passo 3
(b) Identificamos a conica como elipse de semi‐eixos
,
. Em coordenadas polares
,
, logo
[\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}=1
;\Longrightarrow;
r{2}\Bigl(\frac{\cos{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{9}\Bigr)=1
;\Longrightarrow;
r^{2}
=\frac{1}{\frac{\cos{2}\theta}{4}+\frac{\sin{2}\theta}{9}}
=\frac{36}{9\cos{2}\theta+4\sin{2}\theta}.
]
Como
[9\cos{2}\theta+4\sin{2}\theta
=\frac{9+4}{2}+\frac{9-4}{2}\cos2\theta
=\frac{13+5\cos2\theta}{2},
]
segue
[\boxed{
r^{2}(\theta)
=\frac{36\cdot2}{13+5\cos2\theta}
=\frac{72}{13+5\cos2\theta}.
}]
[\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}=1
;\Longrightarrow;
r{2}\Bigl(\frac{\cos{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{9}\Bigr)=1
;\Longrightarrow;
r^{2}
=\frac{1}{\frac{\cos{2}\theta}{4}+\frac{\sin{2}\theta}{9}}
=\frac{36}{9\cos{2}\theta+4\sin{2}\theta}.
]
Como
[9\cos{2}\theta+4\sin{2}\theta
=\frac{9+4}{2}+\frac{9-4}{2}\cos2\theta
=\frac{13+5\cos2\theta}{2},
]
segue
[\boxed{
r^{2}(\theta)
=\frac{36\cdot2}{13+5\cos2\theta}
=\frac{72}{13+5\cos2\theta}.
}]
Passo 4
(c) Usando a forma polar
, o comprimento
da elipse é dado por
onde
.
A área interna em coordenadas polares é
A área interna
Resposta
(a) Pontos
com
[r=\frac{\sqrt{31}}{2},\quad
\theta=\operatorname{arccos}\frac{2}{\sqrt{31}}\quadou\quad2\pi-\operatorname{arccos}\frac{2}{\sqrt{31}}.
]
(b) Elipse de semi‐eixos e
, com
[r^{2}(\theta)=\frac{72}{13+5\cos2\theta}.
]
(c)
[L=\int_{0}^{2\pi}
\sqrt{r(\theta){2}+(r’(\theta)){2}}\ d\theta,
\quad
A=\tfrac12\int_{0}{2\pi}r(\theta){2}\ d\theta
=\tfrac12\int_{0}^{2\pi}\frac{72}{13+5\cos2\theta},d\theta.
]
[r=\frac{\sqrt{31}}{2},\quad
\theta=\operatorname{arccos}\frac{2}{\sqrt{31}}\quadou\quad2\pi-\operatorname{arccos}\frac{2}{\sqrt{31}}.
]
(b) Elipse de semi‐eixos
[r^{2}(\theta)=\frac{72}{13+5\cos2\theta}.
]
(c)
[L=\int_{0}^{2\pi}
\sqrt{r(\theta){2}+(r’(\theta)){2}}\ d\theta,
\quad
A=\tfrac12\int_{0}{2\pi}r(\theta){2}\ d\theta
=\tfrac12\int_{0}^{2\pi}\frac{72}{13+5\cos2\theta},d\theta.
]