Considere a cônica de equação cartesiana x^24+y^29=1.
(a) (5 pontos) Determine as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares dos pontos que pertencem a cônica e apresentam abscissa x=1.
(b) (10 pontos) Identifique a cônica e mostre que essa cônica apresenta sua equação em coordenadas polares como
r^2(theta)=7213+5 cos 2 theta
(c) (10 pontos) Defina as integrais que representam o comprimento dessa cônica e sua área interna.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
[\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}=1]
que é uma elipse com semi‐eixos a=2 (eixo x) e b=3 (eixo y).
(a) pede os pontos com abscissa x=1 e suas coordenadas cartesianas e polares.
(b) quer identificar a cônica e mostrar sua forma em coordenadas polares
[r^{2}(\theta)=\frac{72}{13+5\cos2\theta}!.]
(c) pede definir as integrais que dão o comprimento da curva e a área interna.

Passo 2

(a) Substituindo x=1 na elipse,
1^24+y^29=1 ;Longrightarrow; 14+y^29=1 ;Longrightarrow; y^29=34 ;Longrightarrow; y^2=274 ;Longrightarrow; y=pm3raiz32
Logo os pontos são
(1,;tfrac3raiz32) e (1,;-tfrac3raiz32)
Em coordenadas polares (r,theta) temos x=rcostheta=1 e y=rsintheta=pmtfrac3raiz32. Também
r=raizx^2+y^2 =raiz1+274 =raiz312,
e
costheta=xr=2raiz31, sintheta=yr=pm3raiz3raiz31
Portanto
(r,theta) =l(tfracraiz312,;arccostfrac2raiz31r) e l(tfracraiz312,;2pi-arccostfrac2raiz31r)

Passo 3

(b) Identificamos a conica como elipse de semi‐eixos a=2, b=3. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, logo
[\frac{x{2}}{4}+\frac{y{2}}{9}=1
;\Longrightarrow;
r{2}\Bigl(\frac{\cos{2}\theta}{4}+\frac{\sin^{2}\theta}{9}\Bigr)=1
;\Longrightarrow;
r^{2}
=\frac{1}{\frac{\cos{2}\theta}{4}+\frac{\sin{2}\theta}{9}}
=\frac{36}{9\cos{2}\theta+4\sin{2}\theta}.
]
Como
[9\cos{2}\theta+4\sin{2}\theta
=\frac{9+4}{2}+\frac{9-4}{2}\cos2\theta
=\frac{13+5\cos2\theta}{2},
]
segue
[\boxed{
r^{2}(\theta)
=\frac{36\cdot2}{13+5\cos2\theta}
=\frac{72}{13+5\cos2\theta}.
}]

Passo 4

(c) Usando a forma polar r(theta), o comprimento L da elipse é dado por
L =integral0^2pi raiz,r(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,,dtheta,
onde r'(theta)=dfracddthetar(theta).
A área interna A em coordenadas polares é
A =tfrac12integral0^2pir(theta)^2,dtheta =tfrac12integral0^2pi7213+5cos2theta,dtheta

Resposta

(a) Pontos (1,pmtfrac3raiz32) com
[r=\frac{\sqrt{31}}{2},\quad
\theta=\operatorname{arccos}\frac{2}{\sqrt{31}}\quadou\quad2\pi-\operatorname{arccos}\frac{2}{\sqrt{31}}.
]
(b) Elipse de semi‐eixos 2 e 3, com
[r^{2}(\theta)=\frac{72}{13+5\cos2\theta}.
]
(c)
[L=\int_{0}^{2\pi}
\sqrt{r(\theta){2}+(r’(\theta)){2}}\ d\theta,
\quad
A=\tfrac12\int_{0}{2\pi}r(\theta){2}\ d\theta
=\tfrac12\int_{0}^{2\pi}\frac{72}{13+5\cos2\theta},d\theta.
]

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