Determine uma função
tal que
e depois calcule
sobre a curva
dada.
é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: (i) encontrar uma função potencial
tal que
, e (ii) calcular o integral de linha
, onde
é a curva parametrizada por
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos: se
, então
Passo 2
Para achar
, usamos as componentes de
:
Integrando em relação a
(tratando
como constantes), obtemos
onde
é uma função ainda a determinar.
Passo 3
Agora usamos
Como
, isso implica
Integramos em relação a
:
com
função de
apenas.
Passo 4
Por fim, a terceira condição é
Por outro lado,
Comparando com
vemos que
, logo
é constante, que podemos tomar zero. Assim,
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental,
Como
e
, temos
Logo
Resposta
A função potencial é
e