Determine uma função f tal que F=nabla f e depois calcule integralC F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=(e^z, 2 y z, x e^z+y^2), C é dada por r(t)=(cos t, sen t, t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y,z) = l(e^z,;2yz,;x e^z + y^2r) e pede duas coisas: (i) encontrar uma função potencial f tal que nabla f = F, e (ii) calcular o integral de linha integralCFcdot dr, onde C é a curva parametrizada por
r(t) = (cos t,;sin t,;t), 0<= t<= 2pi
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos: se F=nabla f, então
integralCFcdot dr = fl(r(2pi)r)-fl(r(0)r)

Passo 2

Para achar f, usamos as componentes de nabla f:
partial fpartial x = e^z
Integrando em relação a x (tratando y,z como constantes), obtemos
f(x,y,z) = x,e^z + g(y,z),
onde g é uma função ainda a determinar.

Passo 3

Agora usamos
partial fpartial y = 2,y,z
Como f(x,y,z)=x e^z + g(y,z), isso implica
partial gpartial y = 2,y,z
Integramos em relação a y:
g(y,z) = integral 2,y,z,dy = y^2,z + h(z),
com h função de z apenas.

Passo 4

Por fim, a terceira condição é
partial fpartial z = x,e^z + y^2
Por outro lado,
partialpartial zl(x e^z + y^2 z + h(z)r) = x,e^z + y^2 + h'(z)
Comparando com F vemos que h'(z)=0, logo h é constante, que podemos tomar zero. Assim,
f(x,y,z) = x,e^z + y^2,z

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental,
integralCFcdot dr = fl(r(2pi)r) - fl(r(0)r)
Como r(2pi)=(1,0,2pi) e r(0)=(1,0,0), temos
f(1,0,2pi) = 1cdot e^2pi + 0 = e^2pi, f(1,0,0) = 1cdot e^0 + 0 = 1
Logo
integralCFcdot dr = e^2pi - 1

Resposta

A função potencial é
f(x,y,z) = x,e^z + y^2,z,
e
integralCFcdot dr = e^2pi - 1

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